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MATHEMATICS

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[Section 2] 기댓값의 의미 확률과 통계 목차 보기 [INTRO] 확률과 통계 미리 보기 예측 불가능함에 대하여 확률과 통계는 어떠한 사건으로부터 중요한 특징을 이끌어낸다. 과거 많은 결정론적 사상은 미래의 상태를 예측하는 것이 개개의 현상에 작용하는 변수들을 정확히 hookspedia.tistory.com INTRO 기댓값의 정의를 알아보고, 산술 평균과 어떠한 차이가 있는지 이해해보자. 산술 평균과 가중 산술평균 주어진 자료들을 모두 더하고, 전체 수로 나눈 것을 산술적 평균(arithmetic average)이라고 한다. 만약 주어진 자료들이 어떠한 빈도수를 가지고 있다면, 우리는 그 빈도수에 맞는 가중치(weights)를 곱하고 평균치를 구한다. 이것을 가중 산술 평균(weighted arithmetic mean)이라고 정의..
[Section 1] 확률 이론의 기본 정리 확률과 통계 목차 보기 [INTRO] 확률과 통계 미리 보기 예측 불가능함에 대하여 확률과 통계는 어떠한 사건으로부터 중요한 특징을 이끌어낸다. 과거 많은 결정론적 사상은 미래의 상태를 예측하는 것이 개개의 현상에 작용하는 변수들을 정확히 hookspedia.tistory.com INTRO 이전에 배운 조합 개념은 이후의 확률 분포 개념에서 중요한 역할을 한다. 이번에는 기초적인 셈의 규칙을 알아보고, 수학적 유용한 정리들을 짚고 넘어가자. 기본적 셈의 규칙 확률 이론에서 어떤 실험에 대해 선택 가능한 모든 경우의 수를 셈하는 것을 기본적인 셈의 규칙(Fundamental Counting Rule)이라 한다. 다음을 참고하자. 이항 정리 이항 정리(binomial theorem)는 수학적 정리로 정의는 ..
[Section 1] 경로 함수의 미분과 적분 다변수 미적분학 목차 보기 [INTRO] 다변수 미적분학 미리 보기 3차원 벡터 공간 벡터 공간의 정의에 있어 3차원 벡터는 물리적 현상과 같은 현실적 공간을 나타냄에 있어 효과적이다. 그리고 다변수 미적분학은 그러한 3차원 벡터 공간에서의 운동 혹은 물체 hookspedia.tistory.com INTRO 경로 함수에 대한 미분과 적분의 정의를 알아보고, 그 의미를 해석해보자. 경로 함수의 미분 _ 속도와 가속도 주어진 경로 함수의 미분 정의는 다음과 같다. 경로 함수의 매개 변수 t를 시간으로 두고 함숫값을 위치로 보면, 경로 함수의 미분 결과는 속도가 된다. 그리고 한번 더 미분이 가능하다면, 미분의 결과는 가속도 개념과 일치한다. 그렇다면, 경로 함수의 속도 관점에서 경로 함수가 나타내는 곡선의 ..
[Section 2] 누적 분포 함수 확률과 통계 목차 보기 [INTRO] 확률과 통계 미리 보기 예측 불가능함에 대하여 확률과 통계는 어떠한 사건으로부터 중요한 특징을 이끌어낸다. 과거 많은 결정론적 사상은 미래의 상태를 예측하는 것이 개개의 현상에 작용하는 변수들을 정확히 hookspedia.tistory.com INTRO 누적 분포 함수와 그 특징에 대해 알아보자. 누적 분포 함수 _ CDF 어떤 무작위 실험에 대한 결과로 발생하는 랜덤 변수들을 모아놓은 집합 X가 존재한다고 가정하자. 집합 X의 원소들 중에서 임의의 실수 c보다 작은 원소들을 모아놓은 부분 집합을 다음과 같이 정의할 수 있다. 따라서 누적 분포 함수는 어떤 사건이 발생할 확률을 정리한 것이다. 이 CDF의 확률적 특징은 다음과 같다. CDF와 PMF의 관계 CDF는 ..
[Section 1] 경로의 의미 다변수 미적분학 목차 보기 [INTRO] 다변수 미적분학 미리 보기 3차원 벡터 공간 벡터 공간의 정의에 있어 3차원 벡터는 물리적 현상과 같은 현실적 공간을 나타냄에 있어 효과적이다. 그리고 다변수 미적분학은 그러한 3차원 벡터 공간에서의 운동 혹은 물체 hookspedia.tistory.com INTRO 벡터 공간에서 경로에 대한 의미를 알아본다. 매개 변수화와 경로 어떤 실수 a와 b에 대해서 연속된 간격을 C라고 정의한다면, C는 다음과 같이 나타낼 수 있다. "C=[a, b] or (a, b)" 여기에서 '[...]'과 '(...)'는 a와 b를 포함할 것인지 아닌지를 의미하는 수학 기호이다. 예를 들어, [a, b]는 a 이상 b 이하이고 (a, b)는 a 초과 b 미만이라는 의미를 내포한다...
[Section 1] 순열과 조합 정리 확률과 통계 목차 보기 [INTRO] 확률과 통계 미리 보기 예측 불가능함에 대하여 확률과 통계는 어떠한 사건으로부터 중요한 특징을 이끌어낸다. 과거 많은 결정론적 사상은 미래의 상태를 예측하는 것이 개개의 현상에 작용하는 변수들을 정확히 hookspedia.tistory.com INTRO 순열과 조합이 바로 대표적인 조합 공간에 대한 응용 개념이라고 볼 수 있다. 순열과 조합의 기본 공식에 대해 알아보고 그 의미를 이해해 보자. 관측 결과의 배열 _ 순열 개념 순열은 관측 가능한 결과들의 배열이라고 볼 수 있다. 예를 들어, 동전의 앞면과 뒷면이 관측 결과로 나타난다고 가정하자. 동전의 앞면을 H, 뒷면을 T라고 하고 각각의 독립 시행에 대한 결과가 A={H} , B={T}이라면, 두 사건의 가능한 배..
[Section 1] 벡터와 행렬식 다변수 미적분학 목차 보기 [INTRO] 다변수 미적분학 미리 보기 3차원 벡터 공간 벡터 공간의 정의에 있어 3차원 벡터는 물리적 현상과 같은 현실적 공간을 나타냄에 있어 효과적이다. 그리고 다변수 미적분학은 그러한 3차원 벡터 공간에서의 운동 혹은 물체 hookspedia.tistory.com INTRO 행렬식을 정의하고 두 벡터가 만드는 행렬의 행렬식을 통해 그 기하학적 의미에 대해 알아보자. 행렬식 계산 방법 가장 간단한 2 x 2 행렬의 경우를 예를 들어 행렬식의 정의를 알아보자. 선형 대수학에서는 이 행렬 식에 관한 일련의 정리들이 존재한다. 그렇다면, 3x3행렬에 대한 행렬식은 어떻게 구할 수 있을까? 이는 다음을 참고하자. 행렬식의 의미 _ 2차원 벡터 공간 2차원 벡터 공간에 존재하는 어..
[Section 2] 랜덤 변수와 확률 함수 확률과 통계 목차 보기 [INTRO] 확률과 통계 미리 보기 예측 불가능함에 대하여 확률과 통계는 어떠한 사건으로부터 중요한 특징을 이끌어낸다. 과거 많은 결정론적 사상은 미래의 상태를 예측하는 것이 개개의 현상에 작용하는 변수들을 정확히 hookspedia.tistory.com INTRO 랜덤 변수의 성질인 이산 성과 연속성에 대해 이해하고, 함수의 두 종류를 알아보자. 랜덤 변수의 두 성질 _ 이산성과 연속성 랜덤 변수에는 이산성과 연속성이라는 두 성질이 존재한다. 임의의 표본 공간을 예시로 두 성질을 이해하도록 하자. 어떤 표본 공간이 유한하거나 무한하다고 할 때, 그 집합이 셀 수 있는 집합이라면, 그 표본 공간에 대한 랜덤 변수들은 이산적 랜덤 변수라고 말한다. 반대로 어떤 표본 공간이 셀 수 ..
[Section 2] 랜덤 변수의 의미 확률과 통계 목차 보기 [INTRO] 확률과 통계 미리 보기 예측 불가능함에 대하여 확률과 통계는 어떠한 사건으로부터 중요한 특징을 이끌어낸다. 과거 많은 결정론적 사상은 미래의 상태를 예측하는 것이 개개의 현상에 작용하는 변수들을 정확히 hookspedia.tistory.com INTRO 어떤 랜덤 실험에 대한 표본 공간과 표본 점이 실수처럼 무한하다면, 우리는 실수 함수에 대응하는 개념을 확률에서도 정의할 수 있다. 유한한 표본 공간을 통해서 랜덤 변수 개념을 정리하고, 이들의 확률을 나타내는 방법에 대해 알아보자. 랜덤 변수의 의미 랜덤 변수의 의미를 유한한 표본 공간에 대해서 생각해보자. 다음의 주사위 던지기 예시는 가능한 관측 결과에 해당하는 표본 점들을 X축으로 쭉 매핑시킨다. 위의 주사위 예..
[Section 1] 벡터 내적의 의미 다변수 미적분학 목차 보기 [INTRO] 다변수 미적분학 미리 보기 3차원 벡터 공간 벡터 공간의 정의에 있어 3차원 벡터는 물리적 현상과 같은 현실적 공간을 나타냄에 있어 효과적이다. 그리고 다변수 미적분학은 그러한 3차원 벡터 공간에서의 운동 혹은 물체 hookspedia.tistory.com INTRO 벡터에는 단위 벡터를 통해서 그 방향을 나타내고, 스칼라를 통해서 그 크기 속성을 알 수 있다. 기본적인 벡터의 속성을 알아보고, 내적을 통해 어떻게 벡터의 속성이 변화하는지 이해해보자. 벡터의 속성 _ 기준과 크기 벡터에는 기준과 크기 속성이 존재한다. 예를 들어 다음의 2차원 평면을 통해서 두 벡터의 기울기와 길이를 구해보자. 벡터의 길이를 L이라고 할 때, 주어진 벡터의 길이 제곱, L2 = 2..
[Section 1] 선형 변환 행렬 다변수 미적분학 목차 보기 [INTRO] 다변수 미적분학 미리 보기 3차원 벡터 공간 벡터 공간의 정의에 있어 3차원 벡터는 물리적 현상과 같은 현실적 공간을 나타냄에 있어 효과적이다. 그리고 다변수 미적분학은 그러한 3차원 벡터 공간에서의 운동 혹은 물체 hookspedia.tistory.com INTRO 선형 변환 함수는 벡터의 변환을 해주는 함수이기 때문에 벡터를 변수로 갖는다. 벡터 함수의 매핑을 위해서 간단한 내적 연산으로 그 작용을 구현할 수 있다. 벡터의 행렬과 내적 연산 어떤 n차원 벡터를 가정하고, 다음의 벡터 행렬 개념을 알아보자. * 행렬의 연산 개념은 선형 대수학에서 다루었던 행렬의 기본 과정과 동일하므로 다음을 참고하자. [Section 1] 행렬의 기본 정리 선형대수학 목차 보기..
[Section 1] 사건의 독립성과 조합 공간 확률과 통계 목차 보기 [INTRO] 확률과 통계 미리 보기 예측 불가능함에 대하여 확률과 통계는 어떠한 사건으로부터 중요한 특징을 이끌어낸다. 과거 많은 결정론적 사상은 미래의 상태를 예측하는 것이 개개의 현상에 작용하는 변수들을 정확히 hookspedia.tistory.com INTRO 하나의 사건이 다른 사건에 영향을 줄 수 없음을 의미하는 사건의 독립성은 조건부 확률의 개념을 확장시켜준다. 확장된 조건부 확률을 정리하고, 둘 이상의 실험에서 확률을 분석할 수 있는 조합 공간에 대해서 알아보도록 하자. 사건의 독립성 사건의 독립적 성질을 바탕으로 조건부 확률 개념은 확장된다. 한편, 사건 A와 B가 서로 독립적인 사건들이라면, 그에 따른 따름 정리가 존재한다. 다음의 증명과정을 통해서 따름 정리를 ..

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