MATHEMATICS/Classical Algebra (12) 썸네일형 리스트형 [Section 2] 서수의 개념 대수학 목차 보기 [INTRO] 대수학 미리보기 세상의 근본 원리, 본질 등 기본적 물체의 실체를 탐구하는 철학에 있어, 대수학은 항상 그 근원적인 문제에 대한 질문을 야기한다. 하나의 진실된 명제가 있다면, 그것은 무엇인가? 대수학의 특 hookspedia.tistory.com 0. INTRO 집합론의 '기수가 같다면 셀 수 있고, 자연수 하위 집합의 기수가 자연수 집합의 기수와 같다'는 결론은 언뜻 보면 괴기하기 까지 보인다. 예를 들어, 정수 집합 N의 기수와 2N의 기수가 같다면, 2N의 기수는 4N과 같으며, 이는 N의 제곱 형태까지 무한하게 뻗어나간다. 이러한 집합 체계의 명확한 설명을 위해서는 순서를 정의하는 개념이 새로이 필요하다. 집합 체계에서 순서의 의미가 부여되고 이를 이해함에 따라 .. [Section 2] 집합들의 관계 대수학 목차 보기 [INTRO] 대수학 미리보기 세상의 근본 원리, 본질 등 기본적 물체의 실체를 탐구하는 철학에 있어, 대수학은 항상 그 근원적인 문제에 대한 질문을 야기한다. 하나의 진실된 명제가 있다면, 그것은 무엇인가? 대수학의 특 hookspedia.tistory.com 0. INTRO 칸토어는 1845년에 태어나 1918년에 생을 마감한 독일의 수학자이다. 그는 무한에 매료되어, 집합론이라는 수학 체계를 완성하는데, 그 당시 그의 이론은 당대의 수학자들에게 환영받지 못하였다. 위대한 수학자 가우스 또한 무한을 셈하려는 것에 반대하였다고 한다. 하지만 집합론은 인간의 인식체계를 자연스럽게 확장시켜주는 계기가 되었고, 그의 집합론은 현대 수학의 근간을 이루고 있다. 현대 수학의 근간인 집합론을 이.. [Section 2] 칸토어의 대각선 증명과 러셀의 역설 대수학 목차 보기 [INTRO] 대수학 미리보기 세상의 근본 원리, 본질 등 기본적 물체의 실체를 탐구하는 철학에 있어, 대수학은 항상 그 근원적인 문제에 대한 질문을 야기한다. 하나의 진실된 명제가 있다면, 그것은 무엇인가? 대수학의 특 hookspedia.tistory.com 0. INTRO 어렸을 때 우리는 무한한 수, 무한한 우주에 대한 상상을 끊임없이 해왔다. 정말 우주는 무한할까? 수는 끝이 없을까? 누구나 한 번쯤 어렸을 때 해왔을법한 상상이다. 칸토어는 집합을 통해서 무한한 수에 대한 연구를 한 수학자이다. 그는 대각선 증명법을 이용하여, 실수는 셀 수 없는 집합임을 대각선 증명 방법을 이용해서 증명하였다. 그의 증명 방법과 더불어 러셀의 역설에 대해 알아보자. 1. 칸토어의 대각선 증명 .. [Section 2] 집합 정리(Theory of Sets) 대수학 목차 보기 [INTRO] 대수학 미리보기 세상의 근본 원리, 본질 등 기본적 물체의 실체를 탐구하는 철학에 있어, 대수학은 항상 그 근원적인 문제에 대한 질문을 야기한다. 하나의 진실된 명제가 있다면, 그것은 무엇인가? 대수학의 특 hookspedia.tistory.com 0. INTRO 집합 정리 체제는 그 자체로 직관적이고 잘 정리되어있는 이론이다. 무한 집합에 대한 연구로 유명한 독일의 수학자 게오르크 페르디난트 루트비히 필리프 칸토어(Cantor)는 집합을 이렇게 정의했다. "집합은 어떠한 모임(assemblage)이며, 이 하나의 모임 개체를 M으로 간주하고, 확정적이고 개별적인 우리의 생각 또는 인지 대상들인 m을 갖는다." 이러한 개념의 집합 이론은 이율배반(antinomies)이라고.. [Section 1] 논리 상수를 통해서 나타내는 수학 증명 대수학 목차 보기 [INTRO] 대수학 미리보기 세상의 근본 원리, 본질 등 기본적 물체의 실체를 탐구하는 철학에 있어, 대수학은 항상 그 근원적인 문제에 대한 질문을 야기한다. 하나의 진실된 명제가 있다면, 그것은 무엇인가? 대수학의 특 hookspedia.tistory.com 0. INTRO 논리학의 자연 연역 방법으로 수학적 증명과정이 진행된다는 것을 알았다. 수학적 증명은 이렇게 논리학을 바탕으로 구성되어있으며, 그 절차를 논리 상수로 나타냄으로써 증명이 완성된다. 수학의 증명절차를 이해함과 동시에 우리는 수의 완전성과 왜 물리학 혹은 그와 유사한 과학이 수학을 통해서 이론적 제시를 하는지 그 이유를 알 수 있게 될 것이다. 1. 논리 상수의 도입과 제거 A. 논리 상수 ^와 ∨ A 명제와 B 명.. [Section 1] 알고리즘과 논리학 증명 시스템 대수학 목차 보기 [INTRO] 대수학 미리보기 세상의 근본 원리, 본질 등 기본적 물체의 실체를 탐구하는 철학에 있어, 대수학은 항상 그 근원적인 문제에 대한 질문을 야기한다. 하나의 진실된 명제가 있다면, 그것은 무엇인가? 대수학의 특 hookspedia.tistory.com 0. INTRO 수학의 명제적 형태와 논리관계에 따른 해석에 의해서, 수학적으로 계산(calculus)한다는 개념이 탄생했다. 즉, 계산한다는 것은 방정식(equation)의 형태와 그 변수를 만족하는 참 조건을 찾는다는 것이다. 기원전 약 800년 경 페르시아의 대수학자 알콰리즈미의 이름을 딴 알고리즘(algorithm)은 이 해를 구하기 위한 일반적인 방법론을 단계별로 제시하는 것이다. 1. 알고리즘을 위한 기호 수학적 방정.. [Section 1] 공리계의 성질 대수학 목차 보기 [INTRO] 대수학 미리보기 세상의 근본 원리, 본질 등 기본적 물체의 실체를 탐구하는 철학에 있어, 대수학은 항상 그 근원적인 문제에 대한 질문을 야기한다. 하나의 진실된 명제가 있다면, 그것은 무엇인가? 대수학의 특 hookspedia.tistory.com 0. INTRO 수학에서 공리계는 독립적 성질과 함께 완결성, 일관성 그리고 단일성을 갖는다. 이 4개의 특성에 대해 알아보고, 공리계 시스템을 통해 우리가 얻을 수 있는 바를 생각해보자. 1. 독립성(Independece) 수학에서 동등 관계를 의미하는 공리로부터 귀결된 공리계는 독립성을 갖는다. 독립적 성질을 갖는다는 말은 정확히 무슨 뜻일까? 0과 1의 정보만을 가지는 컴퓨터처럼, 어떤 공리 E는 0과 1의 영역만을 가진다.. [Section 1] 술어 연산자 고전 대수학 목차 보기 [INTRO] 고전 대수학 미리 보기 세상의 근본 원리, 본질 등 기본적 물체의 실체를 탐구하는 철학에 있어, 대수학은 항상 그 근원적인 문제에 대한 질문을 야기한다. 하나의 진실된 명제가 있다면, 그것은 무엇인가? 대수학의 특 hookspedia.tistory.com 0. INTRO 집합이라는 하나의 수학 체계를 구성함으로써, 논리적 증명과 고찰이 더 수월하여진다. 자연수는 수를 세거나, 순서를 매길 때 사용되는 수 체계로, 음이 아닌 정수와 양의 정수의 집합으로 구성된다. 이 집합은 페아노 공리계(Peano’s axioms)라고 불리는 자연수 체계를 묘사하는 공리들로 정의된다. 1. 술어 논리(predicate logic) A. 종속 변수( Bound variable) 다음의 .. [Section 1] 논리적 귀결에 대해서... 고전 대수학 목차 보기 [INTRO] 고전 대수학 미리 보기 세상의 근본 원리, 본질 등 기본적 물체의 실체를 탐구하는 철학에 있어, 대수학은 항상 그 근원적인 문제에 대한 질문을 야기한다. 하나의 진실된 명제가 있다면, 그것은 무엇인가? 대수학의 특 hookspedia.tistory.com 0. INTRO 공리(axiom)는 가장 근본이 되는 명제를 의미한다. 공리에 따라서 우리는 새로운 참 명제를 만들고 이를 통해서 체계화된 이론을 논리적 귀결이라고 한다. 이 논리적 귀결에 이르는 그 단계에 대해서 알아보자. 1. 수학적 정의의 축약 성질 수학적으로 정의한다는 것은 어떠한 결과에 대해서 우리는 그 정의를 축약하여 나타낼 수 있다는 것을 의미한다. 그렇지 않으면, 논리적 귀결에 이르는 그 증명을 매번 .. [Section 1] 명제의 논리적 기능 고전 대수학 목차 보기 [INTRO] 고전 대수학 미리 보기 세상의 근본 원리, 본질 등 기본적 물체의 실체를 탐구하는 철학에 있어, 대수학은 항상 그 근원적인 문제에 대한 질문을 야기한다. 하나의 진실된 명제가 있다면, 그것은 무엇인가? 대수학의 특 hookspedia.tistory.com INTRO 일상의 언어는 그 의미를 전달하는데 많은 오류가 생길 가능성이 크며, 이는 의미 전달에 맹점을 가진다. 수학이 다른 응용, 자연 과학에서 쓰이는 이유 중 하나는 다른 어떤 언어들 보다도 나은 신뢰성과 명확함에 있다. 이러한 대수학적 명제와 그 논리적 기능을 알아보자. 명제의 의미 대수학은 모든 수학의 기본으로써 일련의 공리(axiom)들을 만족하는 수학적 구조들의 성질을 연구하는 학문이다. 대수학은 거의 .. [APPENDIX] 방정식의 기본 1. 방정식(Equation) 대수학에서는 숫자는 수학이라는 언어를 나타내는 주어(subject)이며, 상수(constant)와 변수(variable)로 구분한다. 상수는 고정되어 변하지 않는 수를 의미하고, 변수는 문자를 사용하여 나타내며, 보통 정해지지 않는 수를 의미한다. 예를 들어, 다음과 같은 명제가 존재한다고 하자. "1 더하기 1은 x다." 정의에 따라서 x는 변수, 1은 상수로 판단할 수 있다. 수학적 표현방식에 따라서 위의 명제는 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다. "1 + 1= x." 이렇게 수학적 명제를 기호로 사용하여 간단히 나타낸 식을 방정식이라고 한다. 2. 수의 관계 앞에서 기본적으로 사용한 '=' 등호 기호는 동등(equality) 관계를 의미한다. 이처럼 수의 관계를 나타.. [Appendix] 대수학 기본 용어 정리 REAL NUMBERS SYSTEM 유리수 (Rational numbers) 무리수 (Irrational numbers) 자연수 (Natural numbers) ; 순서나 수를 셀 때 사용되는 수로 counting number라고도 불리기도 한다. 범자연수(Whole numbers) ; 0부터 무한대까지 이르는 정수로 정수(integer)의 하위 개념이다. 합성수(Composite number) ; 1보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수로, 약수의 개수가 3개 이상이고 둘 이상의 소수를 곱한 자연수 MULTIPLICATION 곱셈(product or multiplication) 최소 공배수 (least common multiple, LCM) 역수 (reciprocal) ; 곱셈 역원(multiplica.. 이전 1 다음
