[APPENDIX] 방정식의 기본

1. 방정식(Equation)

대수학에서는 숫자는 수학이라는 언어를 나타내는 주어(subject)이며, 상수(constant)와 변수(variable)로 구분한다. 상수는 고정되어 변하지 않는 수를 의미하고, 변수는 문자를 사용하여 나타내며, 보통 정해지지 않는 수를 의미한다. 예를 들어, 다음과 같은 명제가 존재한다고 하자.

"1 더하기 1은 x다."

 

정의에 따라서 x는 변수, 1은 상수로 판단할 수 있다. 수학적 표현방식에 따라서 위의 명제는 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다. 

 

"1 + 1= x."

 

이렇게 수학적 명제를 기호로 사용하여 간단히 나타낸 식을 방정식이라고 한다. 

 

2. 수의 관계

앞에서 기본적으로 사용한 '=' 등호 기호는 동등(equality) 관계를 의미한다. 이처럼 수의 관계를 나타내는 가장 기본적 인기호는 다음과 같이 총 6 가지이다.

 

"=, ≠, < , >, ≤, ≥ "

A. 동등(equality) 관계, =

동등 기호, = 는 서로 같은 값을 의미할 때 사용하는 부호이다. 이 부호가 사용된 방정식에서 좌항과 우항 두 값이 서로 같으면 참, 다르면 거짓인 명제가 된다. 예를 들어 다음의 명제를 보자.

 

"1+1=2"

 

B. 부동(inequality) 관계, ≠

부동 기호, ≠는 서로 다른 값을 의미할 때 사용하는 부호이다. 이 부호가 사용된 방정식에서 좌항과 우항 두 값이 서로 다르면 참, 같으면 거짓인 명제가 된다. 예를 들어 다음의 명제를 보자.

 

"1+1≠3"

 

C. 비교 관계, <

비교 관계 기호 중, < 는 방정식의 좌항과 우항을 비교하는 부호이다. 이 부호가 사용된 방정식에서 좌항 값보다 우항 값이 더 크면 참, 작으면 거짓인 명제가 된다. 예를 들어 다음의 명제를 보자.

 

"1+1 <3"

 

D. 비교 관계, >

비교 관계 기호 중, >는 방정식의 좌항과 우항을 비교하는 부호이다. 이 부호가 사용된 방정식에서 좌항 값보다 우항 값이 더 작으면 참, 크면 거짓인 명제가 된다. 예를 들어 다음의 명제를 보자.

 

"1+1>1"

E. 비교 관계, ≤

비교 관계 기호 중, ≤ 는 방정식의 좌항과 우항을 비교하는 부호이다. 이 부호가 사용된 방정식에서 좌항 값보다 우항 값이 같거나 더 크면 참, 작으면 거짓인 명제가 된다. 예를 들어 다음의 명제를 보자.

 

"1+1 ≤2"

F 비교 관계, ≥

비교 관계 기호 중, ≥는 방정식의 좌항과 우항을 비교하는 부호이다. 이 부호가 사용된 방정식에서 좌항 값보다 우항 값이 같거나 더 작으면 참, 크면 거짓인 명제가 된다. 예를 들어 다음의 명제를 보자.

 

"1+1≥2"

 

3. 연산 순서(Order of operation)

다음의 예시 명제를 보자.

"1+1-2 · 2 / 4 = x "

 

누군가는 왼쪽에서 오른쪽으로 차례대로 계산을 하여 x = 0 이 되었고, 또 다른 누군가는 오른쪽에서부터 왼쪽으로 차례대로 계산하여 x =1 이 되었다. 누구의 계산이 맞는 건가? 이렇게 같은 명제를 보고 다른 결과를 도출하는 것을 방지하기 위해서, 대수학에서 정의한 연산 순서는 다음의 A, B, C 그리고 D단계를 따른다.

 

A. 그룹화 기호가 있다면, 그 항을 가장 먼저 계산한다. 그리고 분수는 따로 취급한다.

그룹화 기호에는 소괄호(parentheses) (), 중괄호(braces) {}, 대괄호(brackets) [], 그리고 분수 막대(fraction bar)가 있다. 괄호 중 가장 기본적인 소괄호(parentheses)의 경우 계산하는 항의 순서를 지정해준다. 예를 들어 다음의 명제 1 그리고 2가 있다고 가정하자.

명제 1 : "(1+2)·3=9"

명제 2 : "1+(2·3)=7"

 

소괄호 안에 항부터 계산한 결과가 명제 1과 명제 2가 서로 다르다. 이렇게 소괄호 먼저 계산을 한다.

중괄호와 대괄호의 기능은 나중에 다시 확인하기로 하자. 

 

분수 막대의 경우, 분수 막대가 있는 항을 하나의 숫자로 인식하면 된다. 예를 들어 다음의 명제가 있다고 가정하자. 

 

 "1+2/4=3"

 

위의 명제는 분수 형태로 표현된 2/4항이 2가 된다.  

B. 지수(Exponents) 항을 계산한다.

"~의 자승(Power)" 이라고도 불리는 지수는 인수(factos)의 거듭된 곱 형태로 나타낸다. 예를 들어 다음과 같은 명제는 2를 4번 곱한 값은 16이라는 값을 얻는다는 것을 나타낸다.

 

"2⁴=2·2·2·2=16"

 

이렇게 거듭된 형태의 곱은 지수 꼴로 간단히 표현할 수 있다. 이때, 거듭하여 곱한 횟수인 숫자 4를 지수(exponent or power)라고 부른다. 그리고 지수의 바탕이 되는 숫자 2는 밑(base)라고 부른다. 위의 명제를 읽는 법은 다음과 같다.

 

"2의 4승은 16이다"

"2 to the fourth power equals 16"

 

C. 곱셈(Multiplication)과 나눗셈(divisions)을 식의 왼쪽 항부터 오른쪽으로 차례대로 계산한다.

D. 덧셈(addition)과 뺄셈(subtractions)을 식의 왼쪽 항부터 오른쪽으로 차례대로 계산한다.