MATHEMATICS/Algebra (12) 썸네일형 리스트형 [Section 2] 이진 연산의 정의 일반 대수학 목차 보기 [INTRO] 일반 대수학 미리보기 언어의 모순성 플라톤은 이데아라는 개념을 통해서 모든 인식 객체의 초월적 실체를 주장했다. 모든 실체는 반드시 초월적 실체를 가져야 할까? 한편, 고대 로마 시기의 그리스 hookspedia.tistory.com INTRO 이진 연산자는 추상 대수학의 가장 핵심적인 개념으로 두 집합의 이항관계를 추상적으로 제시한다. 이 개념은 이후의 군론의 초석이 되는 개념이므로 반드시 짚고 넘어가자. 이진 연산의 정의 어떤 집합 A에 대하여 존재하는 존재하는 두 원소 a, b의 순서쌍이 이항관계 집합에 포함된다면, 그 원소를 집합 A의 이진 연산(binary operation)이라고 정의한다. 이진 연산은 어떤 함수 매핑의 결과로 보기도 하는데, 간단히 * 기.. [Section 2] 나머지 합동 일반 대수학 목차 보기 [INTRO] 일반 대수학 미리보기 언어의 모순성 플라톤은 이데아라는 개념을 통해서 모든 인식 객체의 초월적 실체를 주장했다. 모든 실체는 반드시 초월적 실체를 가져야 할까? 한편, 고대 로마 시기의 그리스 hookspedia.tistory.com INTRO 나머지 합동 개념은 주어진 수에 대해서 나머지를 비교하는 것이다. 이 개념은 1801년에 가우스에 의해서 도입되었는데, 현대 대수학에서 필수적인 개념으로 자리 잡히게 되었다. 이 나머지 합동 연산 개념을 배워보자. 나머지 합동의 정의 나머지 합동의 개념은 어떤 정수 m에 대해 특별한 조건을 만족하는 원소들의 모임이다. 이 집합을 나머지 m의 합동 모임(Congruence classes modulo m)이라고 부른다. 다음을 참.. [Section 2] 정수의 나눗셈 일반 대수학 목차 보기 [INTRO] 일반 대수학 미리보기 언어의 모순성 플라톤은 이데아라는 개념을 통해서 모든 인식 객체의 초월적 실체를 주장했다. 모든 실체는 반드시 초월적 실체를 가져야 할까? 한편, 고대 로마 시기의 그리스 hookspedia.tistory.com INTRO 정수에서 나눗셈은 곱셈의 비를 나타내는 사칙연산 중 하나이다. 나눗셈의 특징을 알아보고, 최대공약수에 대해 배워보도록 하자. 나눗셈의 특징 어떤 정수 a 가 존재한다고 가정할 때 a를 두 정수 x와 y의 곱이라고 하자. 이를 수식으로 나타내면 a=xy가 된다. 만약 정수 y에 대한 값을 나타내려면 양변을 x로 나누어주면 된다. 즉, y= a / x가 되는 것이다. 대수학에서는 | 기호를 사용하여 나눗셈을 표시한다. " x | .. [Section 2] 수학적 귀납법의 원리 일반 대수학 목차 보기 [INTRO] 일반 대수학 미리보기 언어의 모순성 플라톤은 이데아라는 개념을 통해서 모든 인식 객체의 초월적 실체를 주장했다. 모든 실체는 반드시 초월적 실체를 가져야 할까? 한편, 고대 로마 시기의 그리스 hookspedia.tistory.com INTRO 수학적 귀납법의 원리는 페아노 공리계의 정렬성에 관한 공리를 기반으로 형성되었다. 정렬 성과 관련된 페아노 공리계의 공리에 대해 알아보고, 이를 기반으로 수학적 귀납법을 이해해보자. 페아노 공리계(Peano’s axioms) 페아노 공리계는 자연수 체계를 묘사하는 공리들의 모임이다. 처음의 네 공리는 동일 관계를 명시한다. 마지막 4번 공리는 자연수 집합은 동일성에 대해 닫혀있다고 표현하기도 한다. 나머지 공리들은 자연수의 성.. [Section 1] 부분 순서 집합의 의미 일반 대수학 목차 보기 [INTRO] 일반 대수학 미리보기 언어의 모순성 플라톤은 이데아라는 개념을 통해서 모든 인식 객체의 초월적 실체를 주장했다. 모든 실체는 반드시 초월적 실체를 가져야 할까? 한편, 고대 로마 시기의 그리스 hookspedia.tistory.com INTRO 집합의 크기가 같다고 해서 두 집합의 비교가 반드시 동일한 순서를 따라야 하는 것은 아니다. 이를 위해서 집합의 원소에 순서 개념이 필요하다. 부분 순서 개념을 통해서 어떤 집합이 정렬성을 가지는 것에 대해 이해해보자. 이항관계와 부분 순서 집합 이항관계는 어떤 집합에 대한 반사, 대칭, 그리고 추이 관계가 성립하는 원소 쌍을 원소로 가지고 있기에 순서 개념을 부여하기에 적합하다. 따라서, 이항관계에서 순서 개념을 따로 추상화.. [Section 1] 집합의 확장과 관계 일반 대수학 목차 보기 [INTRO] 일반 대수학 미리보기 언어의 모순성 플라톤은 이데아라는 개념을 통해서 모든 인식 객체의 초월적 실체를 주장했다. 모든 실체는 반드시 초월적 실체를 가져야 할까? 한편, 고대 로마 시기의 그리스 hookspedia.tistory.com INTRO 집합의 개념이 어느 정도 잡혔으니, 이제 집합 개념을 조금씩 확장해보자. 먼저, 집합에는 정수, 유리수와 무리수, 그리고 실수까지 집합의 확장이 가능하다. 그리고 이들의 관계는 벤 다이어 그램으로 나타내는 것이 널리 알려져 있다. 이들의 관계를 기호로 간략히 나타내어보자. 자연수부터 정수, 유리수, 그리고 실수까지 자연수(Natural numbers)는 일반적으로 0을 제외하는 양의 정수로 흔히 표현한다. 이 자연수는 보통 수.. [Section 1] 집합의 분할 일반 대수학 목차 보기 [INTRO] 일반 대수학 미리보기 언어의 모순성 플라톤은 이데아라는 개념을 통해서 모든 인식 객체의 초월적 실체를 주장했다. 모든 실체는 반드시 초월적 실체를 가져야 할까? 한편, 고대 로마 시기의 그리스 hookspedia.tistory.com INTRO 집합을 분할하게 되면 크기가 작아지므로 원소를 다루기가 쉬워진다는 장점을 가지고 있다. 따라서 집합의 분할은 집합을 분석하는데 아주 유용한 기술이다. 집합 분할의 결과 _ 셀(Cell) 어떤 집합의 원소들 중 어느 하나라도 중복된 원소가 없다면, 그 집합은 둘 이상의 집합으로 분할(Partition) 가능하다. 이렇게 생성된 집합의 하위 집합을 셀(Cell)이라고 부른다. 일반적으로 셀의 기호는 대수학에서 다음과 같은 기호를 .. [Section 1] 등가 관계와 동치 관계 일반 대수학 목차 보기 [INTRO] 일반 대수학 미리보기 언어의 모순성 플라톤은 이데아라는 개념을 통해서 모든 인식 객체의 초월적 실체를 주장했다. 모든 실체는 반드시 초월적 실체를 가져야 할까? 한편, 고대 로마 시기의 그리스 hookspedia.tistory.com INTRO 이항관계 혹은 동치 관계라고도 불리는 관계 집합은 어떤 세 가지 조건을 만족하는 경우를 의미한다. 이 세 가지 특정 조건에 대해서 알아보자. 등가 관계 _ Equality Relation 등가 관계의 정의는 다음과 같다. 정의에 따라서 어떤 두 집합의 관계가 등가이면, 두 집합의 크기(Cardinality) 또한 등가 관계가 성립한다. 이항관계 _ Binary Relation 동치 관계(Equivalence Relation)도.. [Section 1] 함수의 종류 일반 대수학 목차 보기 [INTRO] 일반 대수학 미리보기 언어의 모순성 플라톤은 이데아라는 개념을 통해서 모든 인식 객체의 초월적 실체를 주장했다. 모든 실체는 반드시 초월적 실체를 가져야 할까? 한편, 고대 로마 시기의 그리스 hookspedia.tistory.com INTRO 전단사 함수는 두 집합의 원소 개수가 동일하기에 역으로도 그 관계를 나타낼 수 있다. 이를 역함수라고 부른다. 만약 두 집합의 원소 개수가 다르거나 관계가 중복된다면 어떨까? 이에 대한 답을 알기 위해서 다른 함수의 종류에 대해 알아보도록 하자. 관계에 따른 종류 _ 전단사 함수와 역함수 먼저 전단사 함수(bijective function)는 기본적으로 두 집합의 원소 개수가 동일하며, 그 관계를 중복이 없는 일대일 대응관계로.. [Section 1] 집합 관계와 기호 일반 대수학 목차 보기 [INTRO] 일반 대수학 미리보기 언어의 모순성 플라톤은 이데아라는 개념을 통해서 모든 인식 객체의 초월적 실체를 주장했다. 모든 실체는 반드시 초월적 실체를 가져야 할까? 한편, 고대 로마 시기의 그리스 hookspedia.tistory.com INTRO 집합의 관계는 어떤 원소 쌍의 집합으로 나타낼 수 있다. 일반 대수학에서 집합 관계를 어떻게 표현하는지 알아보자. 곱 집합과 관계 집합 먼저, 두 집합 A와 B가 존재한다고 가정하자. A와 B의 원소를 각각 a와 b라고 한다면, 두 원소의 순서 쌍 (a, b)를 원소로 가지는 집합을 곱 집합(Cartesian product)이라고 한다. 곱집합의 정의는 다음과 같다. 곱 집합의 정의를 기반으로 관계 집합의 정의도 알아보자. 어.. [Section 1] 집합의 종류 일반 대수학 목차 보기 [INTRO] 일반 대수학 미리보기 언어의 모순성 플라톤은 이데아라는 개념을 통해서 모든 인식 객체의 초월적 실체를 주장했다. 모든 실체는 반드시 초월적 실체를 가져야 할까? 한편, 고대 로마 시기의 그리스 hookspedia.tistory.com INTRO 어떤 원소를 가지느냐에 따라서 집합은 확장하기도 하고 축소하기도 하는 성질을 가지고 있다. 따라서 집합의 종류는 정의에 따라 무한한 종류로 나누어질 수 있는 것이다. 집합을 어떻게 정의하느냐에 따라서 집합의 관계는 달라진다. 하위 집합에 따른 분류 원소 0을 가지는 집합 X가 존재한다고 가정하자. 그리고 원소 0과 1을 가지는 집합 C가 있다면, X는 C의 하위 집합이 된다. X와 같은 하위 집합은 C의 하위 집합으로 적절하다.. [Section 1] 집합과 원소 일반 대수학 목차 보기 [INTRO] 일반 대수학 미리보기 언어의 모순성 플라톤은 이데아라는 개념을 통해서 모든 인식 객체의 초월적 실체를 주장했다. 모든 실체는 반드시 초월적 실체를 가져야 할까? 한편, 고대 로마 시기의 그리스 hookspedia.tistory.com INTRO 대수학의 가장 기본 표현으로 집합과 그 관계를 나타내는 기호가 존재한다. 집합과 관련된 개념들의 간단한 정의와 기호를 알아보도록 하자. 집합 개념 집합(Set)은 어떤 원소들의 모임으로 정의된다. 이 집합 개념은 원소가 존재하지 않는 경우도 포함하는데, 이를 공집합(Empty set)이라고 한다. 예를 들어 어떤 집합 X는 0보다 크고 10보다 작은 홀수를 원소로 갖는 모임을 생각해보자. 이 집합을 기호로 나타내면 다음과 같다.. 이전 1 다음
