[Section 2] 나머지 합동

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INTRO

나머지 합동 개념은 주어진 수에 대해서 나머지를 비교하는 것이다. 이 개념은 1801년에 가우스에 의해서 도입되었는데, 현대 대수학에서 필수적인 개념으로 자리 잡히게 되었다. 이 나머지 합동 연산 개념을 배워보자.  

나머지 합동의 정의

나머지 합동의 개념은 어떤 정수 m에 대해 특별한 조건을 만족하는 원소들의 모임이다. 이 집합을 나머지 m의 합동 모임(Congruence classes modulo m)이라고 부른다. 다음을 참고하자.

 

나머지 합동

합동 연산(Congruence arithmetic)

나머지 m의 합동 모임의 원소들은 합과 곱(product) 연산을 다음과 같은 규칙에 의해 수행될 수 있다.  

 

합동 연산

 

 

나머지 합동에 대한 개념은 나머지를 정리하는데 탁월한 유용성을 자랑한다. 예를 들어, 두 정수의 a와 b의 몫과 나머지를 각각 q, r이라고 하자. 나머지 합동 정의에 따라, [a]=[r]이 된다. 그리고 그 유명한 페르마의 소정리 또한 이 개념을 기반으로 증명된다. 

페르마의 소정리(Fermat's little theorem)

페르마의 소정리는 어떤 수가 소수이기 위한 필요조건을 제시해준다. 그의 정리는 다음과 같다.

 

"어떤 수 p가 소수이고 x가 정수이면, x^p ≡ x (mod p) 이다. "

 

이를 증명하기 위해서는 이항 계수와 관련된 소수 정리를 먼저 증명해야 한다. 다음의 정리와 증명과정을 먼저 이해하자.