[Section 2] 수학적 귀납법의 원리

일반 대수학 목차 보기

[INTRO] 일반 대수학 미리보기

INTRO

수학적 귀납법의 원리는 페아노 공리계의 정렬성에 관한 공리를 기반으로 형성되었다. 정렬 성과 관련된 페아노 공리계의 공리에 대해 알아보고, 이를 기반으로 수학적 귀납법을 이해해보자.

페아노 공리계(Peano’s axioms)

페아노 공리계는 자연수 체계를 묘사하는 공리들의 모임이다. 처음의 네 공리는 동일 관계를 명시한다.

 

동일 관계

 

마지막 4번 공리는 자연수 집합은 동일성에 대해 닫혀있다고 표현하기도 한다.

 

나머지 공리들은 자연수의 성질을 나타낸다. 여기에서는 따로 다루지 않기로 하고, 수학적 귀납법의 이해를 돕기 위해서 정렬성을 다룬 공리를 살펴보기로 하자.

정렬성 법칙(Well-Ordering Law)

정렬성 법칙(WO)은 다음과 같다.

 

"페아노 공리계를 만족하는 어떤 집합은 가장 작은 원소를 반드시 가진다."

 

이 정렬성 법칙이 수학적 귀납법의 기본 원리가 된다. 예를 들어, 다음을 참고하자.

 

귀납법의 원리

귀납적 증명 방법

정렬성 법칙(WO)에 따라, 자연수 체제의 수학적 증명 방법은 다음의 두 가지 조건을 만족함을 보이는 것이다. 

 

수학적 증명 방법

자연수 체계의 기본 연산 법칙

귀납법의 증명과 함께, 자연수 체계를 따르는 원소들의 사칙연산은 다음의 기본 법칙을 따르는 것으로 알려져 있다. 기본 연산 법칙인 결합 법칙, 교환 법칙, 그리고 분배 법칙을 짚고 넘어가도록 하자.

 

기본 연산 법칙

 

 

* 다음 강의는 정수의 나눗셈입니다.​

[Section 2] 정수의 나눗셈