[Section 1] 집합의 확장과 관계

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INTRO

집합의 개념이 어느 정도 잡혔으니, 이제 집합 개념을 조금씩 확장해보자. 먼저, 집합에는 정수, 유리수와 무리수, 그리고 실수까지 집합의 확장이 가능하다. 그리고 이들의 관계는 벤 다이어 그램으로 나타내는 것이 널리 알려져 있다. 이들의 관계를 기호로 간략히 나타내어보자.

자연수부터 정수, 유리수, 그리고 실수까지

자연수(Natural numbers)는 일반적으로 0을 제외하는 양의 정수로 흔히 표현한다. 이 자연수는 보통 수를 셀 때 사용되는 개념이기에 0을 원소로 갖지 않는다. 그리고 정수(Integers)는 양의 정수, 음의 정수로 보통 다시 나눌 수 있다. 이 정수 집합은 0을 원소로 포함하는 것이 가장 큰 특징이다. 또 유리수(Rational numbers)는  정수의 비율로 분모가 0이 되는 경우를 제외한 수를 원소로 갖는다. 한편, 유리수로 모든 소수를 표현할 수 없다는 특징을 가지고 있다. 그로 인하여 무리수(Irrational numbers)라는 개념이 존재하는데, 이 무리수는 두 정수의 비로 나타낼 수 없는 실수(Real numbers)이다. 즉, 실수는 지금까지 열거한 집합들을 모두 하위 집합으로 갖는 집합이 된다. 수 집합에 대한 수학적 정의는 다음을 참고하자. 

 

수 체계 정리

 

수 집합의 크기는 어떻게 정의할까? 대수학에서는 모든 수 집합은 무한한 원소를 가질 수 있음에도, 유한한 집합의 크기로 정의한다. 이는 모든 집합의 원소가 일대일 대응 관계가 성립함을 보일 수 있기 때문이다. 다시 말해서, 지금까지 정리한 모든 집합들은 셀 수 있는 집합들이며, 간단히 자연수 집합의 크기인 알레프 제로(aleph zero)의 형태로 나타낸다. 그렇다고 해서 모든 집합의 크기가 같다는 말은 아니다. 집합의 크기는 순서 관점의 비교이다. 이는 다음 강의에서 다루기로 하자.

집합의 관계 _ 합집합과 교집합

다음은 위에서 정리한 집합들을 벤다이어그램으로 간단히 나타낸 그림이다.

 

벤다이어 그램

 

그림으로 쉽게 그 관계를 알 수 있지만, 이를 표현하는 수학적 기호는 따로 있다. 다음을 참고하자.

 

합집합과 교집합

집합의 크기 비교

집합의 크기 비교는 일반적으로 기호 <, >, = 등을 사용하여 나타낸다. 집합의 크기 비교에 관하여 유용한 정리인 칸토어-번슈타인 정리를 다음과 같이 정리해두겠다.

 

칸토어 번슈타인 정리

 

집합의 크기를 비교하는 과정에서 나타난 부분 순서(Paritial order)와 기수(Cardinal) 개념은 집합의 비교에 있어서 중요하다. 따라서 다음 강의는 이 개념들에 대해서 자세히 다루도록 하겠다.

 

 

* 다음 강의는 부분 순서 집합의 의미입니다.

[Section 1] 부분 순서 집합의 의미