[Section 1] 부분 순서 집합의 의미

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INTRO

집합의 크기가 같다고 해서 두 집합의 비교가 반드시 동일한 순서를 따라야 하는 것은 아니다. 이를 위해서 집합의 원소에 순서 개념이 필요하다. 부분 순서 개념을 통해서 어떤 집합이 정렬성을 가지는 것에 대해 이해해보자.

이항관계와 부분 순서 집합

이항관계는 어떤 집합에 대한 반사, 대칭, 그리고 추이 관계가 성립하는 원소 쌍을 원소로 가지고 있기에 순서 개념을 부여하기에 적합하다. 따라서, 이항관계에서 순서 개념을 따로 추상화한 집합이 부분 순서 집합(partially ordered set, poset)이다. 예를 들어, 어떤 집합 A가 a, b를 원소로 가지고 있다고 가정하자. 두 이항관계에서 다음과 같은 특징이 나타나면, 순서쌍 (a, b)는 부분 순서(partial order)가 된다.

 

부분 순서 집합의 정의

 

정의에 따라 a와 b는 부분 순서 a ≼ b 의 관계를 가지게 된다.

   

부분 순서 집합의 가장 유명한 예시가 바로 하세 다이어그램(Hasse diagram)이다. 하세 다이어그램을 이해하기전에 다음의 멱집합 개념을 짚고 넘어가자.

멱 집합(Power Set)

멱집합은 어떤 집합에 대한 모든 하위 집합, 심지어는 공집합까지도 포함하는 집합을 말한다. 예를 들어, 앞에서 언급한 A집합을 예시로 들어보자.

 

멱집합의 정의

하세 다이어그램(Hasse diagram)

하세 다이어그램으로 돌아와서, A={a,b} 의 원소를 다음의 특징에 따라 그려보자.

 

"a ≼ b 일 때, 두 점 a,b가 존재한다고 가정하자."

 

"a는 아래에 b는 위에 두 점이 존재한다면 두 점을 잇는 가상의 선을 상상할 수 있다. "

 

하세 다이어그램

 

이렇게 연결된 가상의 선이 두 원소의 순서를 명확하게 가시화하여 나타낸다. 부분 순서 집합의 개념으로 하세 다이어그램을 나타낼 수 있는데, A={a, b, c} 집합을 예시로 들어보자. 이 경우, 멱 급수 P(A)의 크기는 8이 된다. 공집합을 아래에 두고 (P(A),⊆) 조건에 따라 하세 다이어그램을 그려보면 다음과 같은 도형이 나타난다.

 

하세 다이어그램

 

하세 다이어그램은 이렇게 부분 순서 집합의 정의와 부합하도록 집합의 원소를 보다 시각적으로 보여준다. 

정렬성(Well-order)

부분 순서 집합의 정의에 따라 집합 A는 정렬성을 갖게 되었다. 즉, 정렬성을 가지는 집합은 순서적인 관계가 명확하다는 말과 동일하다. 예를 들어, (A,≼ )는 연속된 원소의 부분 순서로 그 위계가 명확하다. 이렇게 어떤 집합 A에 대해 부분 순서 ≼ 를 따르는 집합을 선형 순서(linear order)라고 부른다. 

 

* 정수나 실수 집합 또한 부분 순서 ≦ 로 정렬성을 갖는다.