[Section 2] 이진 연산의 정의

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INTRO

이진 연산자는 추상 대수학의 가장 핵심적인 개념으로 두 집합의 이항관계를 추상적으로 제시한다. 이 개념은 이후의 군론의 초석이 되는 개념이므로 반드시 짚고 넘어가자.

이진 연산의 정의

어떤 집합 A에 대하여 존재하는 존재하는 두 원소 a, b의 순서쌍이 이항관계 집합에 포함된다면, 그 원소를 집합 A의 이진 연산(binary operation)이라고 정의한다. 이진 연산은 어떤 함수 매핑의 결과로 보기도 하는데, 간단히 * 기호를 사용하여 그 관계를 표시한다. 

 

이진연산 개념

 

이진 연산의 특징

이진 연산은 대수학의 다른 함수와 동일하게 결합 법칙, 교환 법칙, 그리고 항등 혹은 역의 특징을 갖기도 한다. 즉, 이진 연산은 어떠한 연산자를 의미하느냐에 따라 연산의 특징이 결정되는 것이다. 따라서 다음의 4가지 특징은 그에 걸맞은 조건을 전제로 한다.

 

이진연산의 특징

 

* 항등 원소 e는 *에 대해 최대 하나의 유일한 원소를 갖는다.