[Section 1] 집합의 종류

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INTRO

어떤 원소를 가지느냐에 따라서 집합은 확장하기도 하고 축소하기도 하는 성질을 가지고 있다. 따라서 집합의 종류는 정의에 따라 무한한 종류로 나누어질 수 있는 것이다. 집합을 어떻게 정의하느냐에 따라서 집합의 관계는 달라진다. 

하위 집합에 따른 분류

원소 0을 가지는 집합 X가 존재한다고 가정하자. 그리고 원소 0과 1을 가지는 집합 C가 있다면, X는 C의 하위 집합이 된다. X와 같은 하위 집합은 C의 하위 집합으로 적절하다는 표현을 사용하기도 하는데, 공집합은 모든 집합들의 하위 집합으로 적절하다. 그리고 집합 C는 C집합의 하위 집합으로도 적절하다.

 

하위 집합에 대한 중요한 개념 중 하나는 원소의 개수에 따라 적절한 하위 집합의 경우의 수가 지수 꼴로 확장된다는 점이다. 예를 들어, C집합의 경우 적절한 하위 집합의 가짓수는 다음과 같이 분류될 수 있다. 

 

하위 집합의 개념과 예시

 

이처럼 집합의 종류는 특정 집합의 하위 집합으로 나누어질 수 있다. 

수의 성질에 따른 분류

우리는 어떤 숫자를 셀 때 0부터 1씩 차례로 셈을 한다. 이를 양의 정수라는 집합 체계로 나타낼 수 있는데, 반대로 0부터 1씩 차례로 빼는 과정을 통해서 음의 정수라는 수 집합 체계를 만들 수도 있다. 양의 정수와 음의 정수, 그리고 0을 모두 하위 집합으로 가지는 집합을 정수(integer)라고 말한다.

 

정수 집합을 더 확장시키는 것이 가능할까? 정수의 모든 원소를 0이 아닌 정수의 원소로 나눔으로써 정수 집합을 더욱 확장시키는 것이 가능하다. 이 계산 결과가 정수의 비를 가지는 모든 원소를 우리는 유리수(rational number)라고 부른다. 반면, 정수의 비를 가지지 않는 경우도 존재하는데 이 원소를 무리수(irrational number)라고 한다. 유리수와 무리수, 그리고 정수의 모든 원소를 포함하는 단 하나의 집합이 바로 실수(Real number)인 것이다.   

 

실수의 모든 원소는 제곱하면 양수가 된다. 이것은 음의 실수에 대해서도 성립하는 자명한 공리라 할 수 있다. 제곱했을 경우에 음수가 나오는 수가 존재할까? 만약 존재한다면 이를 허수라고 부르자. 그리고 허수 혹은 실수 원소의 합과 허수의 형태를 원소로 가지는 집합을 복소수(Complex number)라고 정의한다.

 

이처럼 대수학에서는 수의 성질에 따라 다음과 같이 간단한 기호로 집합을 분류한다.

 

정수,유리수, 그리고 실수 집합 기호

 

 

* 다음 강의는 집합 관계와 기호입니다.

[Section 1] 집합 관계와 기호