[Section 1] 집합과 원소

일반 대수학 목차 보기

[INTRO] 일반 대수학 미리보기

INTRO

대수학의 가장 기본 표현으로 집합과 그 관계를 나타내는 기호가 존재한다. 집합과 관련된 개념들의 간단한 정의와 기호를 알아보도록 하자. 

집합 개념

집합(Set)은 어떤 원소들의 모임으로 정의된다. 이 집합 개념은 원소가 존재하지 않는 경우도 포함하는데, 이를 공집합(Empty set)이라고 한다. 예를 들어 어떤 집합 X는 0보다 크고 10보다 작은 홀수를 원소로 갖는 모임을 생각해보자.  이 집합을 기호로 나타내면 다음과 같다.

 

" X = {x|x는 0 보다 크고 10보다 작은 홀수이다. }"

 

위와 같이 원소에 해당하는 x가 수학적 언어의 주체가 되고, 조건에 부합하는 부분이 술어가 된다. 때때로 주체와 술어를 간략히 P(x)로 표기해두기도 한다.

 

" X = {x|P(x)}"

집합 기본 정리 _ 필요충분(if and only if)

 집합으로 정의하는 모든 원소들은 필요충분조건을 통해서만 정의될 수 있다. 예를 들어, 앞서 정의한 P(x)를 생각해보자. 1은 0보다 크고 10보다 작은 홀수인가? 맞다. 그렇다면 0보다 크고 10보다 작은 홀수는 1인가? 맞다. 결론적으로 원소 1은 필요충분조건을 만족하므로 집합 X에 포함된다. 

 

위와 같은 논리 전개로 0보다 크고 10보다 작은 정수 중에서 1,3,5,7,9는 집합 X에 포함될 것이며, 2,4,6,8은 포함되지 않는다. 그리고 이를 기호로 간단히 다음과 같이 나타낸다.

고유 모임(Proper class)

고유모임은고유 모임은 집합이 아닌 모임을 의미한다. 고유 모임은 집합을 원소로 하는 집합이지만 집합 자체를 원소로 갖지 않는다. 이는 러셀의 역설을 피하기 위한 개념이다.

 

 

 

 

 

* 다음 강의는 집합의 종류입니다.

[Section 1] 집합의 종류