[Section 1] 명제의 논리적 기능

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INTRO

일상의 언어는 그 의미를 전달하는데 많은 오류가 생길 가능성이 크며, 이는 의미 전달에 맹점을 가진다. 수학이 다른 응용, 자연 과학에서 쓰이는 이유 중 하나는 다른 어떤 언어들 보다도 나은 신뢰성과 명확함에 있다. 이러한 대수학적 명제와 그 논리적 기능을 알아보자.

명제의 의미

대수학은 모든 수학의 기본으로써 일련의 공리(axiom)들을 만족하는 수학적 구조들의 성질을 연구하는 학문이다. 대수학은 거의 모든 과학에서 사용되고, 특히 그 목적은 모든 사람들이 서로 같은 내용으로 이해할 수 있도록 하는 일종의 언어 역학을 하는 것이라고 할 수 있다. 대수학에서 기본이 되는 명제를 알아보자.

 

명제는 논리학에서 뜻이 분명한 문장을 말한다.

이와 유사하게, 대수학에서 명제는 모든 글자들의 조합을 의미한다. 이 명제의 형태(propositional form)는 수학적 기호를 가지고 있다.  삼각 함수를 예로 들면, f= sin x , f= cos x... 이렇게 모든 수학적 기호와 상징(Symbol)은 명제의 형태를 의미하며, 다른 말로 공식(formulas)이라고도 부른다. 기호와 상징이 이런 의미를 가진다고 우리가 약속했기 때문에, 우리는 이러한 명제의 형태(혹은 공식)를 보고 수학적으로 어떠한 의미를 가지는지 이해하고 설명할 수 있다.

명제의 참과 거짓 특성

아리스토텔레스 시대의 고전 논리학에 따르면, 모든 명제들은 두 가지 상태가 존재한다.

 

"하나는 진실이요, 다른 하나는 거짓이다."

 

그의 주장으로 말미암아, 위 명제 또한 진실이냐 거짓이냐로 나뉠 것이다. 이것을 이치 논리(two-valued logic)라고 부른다. 이 명제는 현대의 많은 수학자들에 비판을 받았고, 현대의 논리학은 진실과 거짓 외에 결정을 지을 수 없는 명제가 존재한다고 보는 다치 논리(many-valued logics)에 주목하고 있다. 하지만, 대부분의 수학적 증명방법이나 과학적 증명이 명제 간의 연결성으로 증명되는 것으로 보아, 모든 학문의 대전제는 바로 이 명제가 아닐까? 

 

* 이 명제가 참인가 거짓인가를 의심하지는 말자. 그러면 끝이 없다.

수학적 명제의 형태

일반적인 수학적 명제의 형태는 술어 체제로 구성된다. 수학적 주체를 어떤 술어로 구분하는 지에 따라서 수학적 명제의 형태가 달라진다. 

A. 주체(Subject)

명제를 구성하는 주체들은 숫자들이다. 대수학은 숫자로 기술하는 언어이다. 따라서 주체들은 숫자가 된다.

 

예를 들어,

 

"1 더하기 1은 2이다"

 

라는 명제가 존재할 때, 명제의 주체는 1과 2가 된다.

 

B. 술어(Predicate)

다음의 명제를 예시로 보자.

"1은 정수이다"

"1.0은 소수이다"

"1은 2보다 크다"

"1은 2와 같다"

 

위 네 가지 명제에서 주체들을 제외한 부분들을 술어라고 한다.

술어는 주체의 개수에 따라서 일가 술어(one-place predicate) 혹은 이가 술어(two-place predicate) 등으로 나누어진다.

C. 함수 부호(Function sign)

함수 부호는 +와 - 같은 기능을 하는 부호를 의미한다. 예를 들어,

 

"1+1=2"

 

라는 명제에서 '+'가 함수 부호에 해당한다.

D. 변수(variable)

세 가지 종류의 변수가 존재한다.

먼저, 숫자 변수(number variable)는 일반적으로 x 또는 y와 같이 영어 알파벳으로 나타내고, 임의의 숫자를 대체하는 기능을 가지고 있다. 다시 말해서, 정의된 숫자 체계의 범위 안에서 숫자 변수는 어떠한 수도 될 수 있다.

 

두 번째 변수는 함수 변수(function variable)이다.

다음의 수학적 명제를 예로 들어보자.

 

"f(1,1) = 2"

 

이때, f로 나타낸 기호를 함수 변수라고 칭한다. 함수 변수는 임의의 수식을 대체하고, 소괄호 안의 상수를 숫자 변수에 대입한다는 의미를 가진다. 다시 말해서, 위 명제는 "지정된 함수에 상수 1과 1을 숫자 변수 x, y에 차례로 대입함으로써 숫자 2를 결과로 갖는다"라는 뜻을 가진다. 

 

마지막 변수는 술어 변수(predicate variable)이다.

술어 변수는 임의의 술어를 기호로 대체한다. 예를 들어 다음의 명제를 보자. 

 

"P1."

 

술어 p가 "~는 정수(integer)이다"라는 일가 술어를 상징할 때, 위 명제는 참이 된다. 이렇게 술어 변수는 술어를 대체하는 기능을 한다. 

 

수학적 명제의 논리 기능어

명제 간의 관계를 나타내는 연결어는 바로 "그리고", "또는", "만약~라면, ~이다.", 그리고 "오직 ~일 때에만"이다. 부정어는 어떠한 명제가 참일 때 거짓이거나, 거짓일 때 참으로 만들어주는 기능어이다. 이렇게 수학적 명제의 논리 기능어를 다음과 같이 기호로 간단히 표시할 수 있다. 

 

논리 기능어

 

 

* 다음 강의는 술어 연산자입니다.

[Section 1] 술어 연산자