[Section 1] 술어 연산자

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[INTRO] 고전 대수학 미리 보기

0. INTRO

집합이라는 하나의 수학 체계를 구성함으로써, 논리적 증명과 고찰이 더 수월하여진다. 자연수는 수를 세거나, 순서를 매길 때 사용되는 수 체계로, 음이 아닌 정수와 양의 정수의 집합으로 구성된다. 이 집합은 페아노 공리계(Peano’s axioms)라고 불리는 자연수 체계를 묘사하는 공리들로 정의된다.

1. 술어 논리(predicate logic)

A. 종속 변수( Bound variable)

다음의 명제를 보자.

 

"모든 정수는 자연수이다. "

 

or

 

"All integers are natural numbers."

 

위의 명제처럼, 1가 술어(one-place predicates)로 이루어진 위 명제는 z라는 글자를 이용하여, 같은 뜻을 가진 명제가 다음과 같은 형태로 다시 쓰일 수 있다.

 

"모든 z에 대해서; 만약 z가 정수이면, z는 자연수이다."

 

or

 

"For all z; If z is an integer, then z is a natural number"

 

이 명제에서 z라는 변수는 하나의 숫자로 결정될 수 없다. 앞의 "모든"이라는 연산자가 z 변수를 하나의 특성을 가지는 변수로 종속시켰기 때문이다. 이러한 변수를 종속 변수(Bound variable)라고 한다.

B. 자유 변수(Free variable)

다음의 명제를 보자.

 

"정수 z는 자연수이다."

 

이 명제에서는 z는 정수라는 집합의 어떤 수 도 될 수 있기 때문에, 자유 변수(free variable)라고 부른다.

C. 보편 양화사(Universal quantification)

"모든"과 같은 연산자(operator)를 보편 양화사(universal quantification)이라고 부른다. 이 보편 양화 사는 논의 영역에 속하는 모든 원소가 주어진 명제를 만족시킬 수 있다는 것을 의미하는 말이다.

D. 존재 양화사(Existential quantifier)

존재 양화사는 명제에서 술어에 해당하는 객체가 적어도 하나 이상 존재함을 의미하는 연산자이다. 일반적인 언어로 표현하면 "~가 존재한다(There exist ~)", 혹은 "어떠한 x에 대해서든(For some x:): x는 ~이다."

2. 수리 논리의 기호

A. 보편양화사와 존재 양화사

임의의 명제적 형태인 H가 존재한다고 할 때, 대부분의 수학 문헌에서 사용된 보편 양화사의 기호는 다음과 같다. 

 

보편 양화사 기호

 

마찬가지로 존재 양화사의 수학적 기호는 다음과 같다.

 

존재양화사

 

B. 항등식 기호(notation)

항등식 기호로 등호 표시인 '='는 일상에서도 쉽게 마주할 수 있다. 

 

보편양화사와 존재양화사의 항등식 기호

 

C. 설명 연산자(description operator)

H 명제가 "~는 자연수이다" 일 때, 다음의 기호를 살펴보자.

 

설명 연산자 ( )

 

명제를 나타내는 기호의 정의에 의해 위 명제는 "모든 x가 자연수이고, x와 y가 존재한다 (x가 자연수이고 y도 자연수이면 x와 y는 같은)"라는 뜻을 가진다. 이때 괄호()를 설명 연산자라고 한다.

 

 

* 다음 강의는 논리적 귀결에 대해서입니다.

[Section 1] 논리적 귀결에 대해서...