[Section 1] 논리적 귀결에 대해서...

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[INTRO] 고전 대수학 미리 보기

0. INTRO

공리(axiom)는 가장 근본이 되는 명제를 의미한다. 공리에 따라서 우리는 새로운 참 명제를 만들고 이를 통해서 체계화된 이론을 논리적 귀결이라고 한다. 이 논리적 귀결에 이르는 그 단계에 대해서 알아보자.

1. 수학적 정의의 축약 성질

수학적으로 정의한다는 것은 어떠한 결과에 대해서 우리는 그 정의를 축약하여 나타낼 수 있다는 것을 의미한다. 그렇지 않으면, 논리적 귀결에 이르는 그 증명을 매번 기술해야 한다. 예를 들어, 수학적으로 정수(integer)를 정의했다고 하자. 그러면 우리는 정수라는 수학적 귀결을 알고 있다는 가정하에, 그 정의 혹은 증명 방법을 정수(integer)라는 단어 자체로 나타낸다는 것을 알 수 있다. 이렇게 수학적으로 정의한 용어는 축약 성질을 바탕으로 한다.

2. 명제 형태를 가지는 공리계(Axioms)

A. 유클리드 기하학(Euclidean geometry)과 공리계(axioms)

고대 그리스 수학자 에우클레이데스가 구축한 수학 체계인 유클리드 기하학에서는 직관적으로 받아들일 수 있는 공리를 바탕으로 유클리드 기하학이라는 정리를 만든다. 즉, 유클리드 기하학은 하나의 수학적 체계로써, 추론과 논리를 통해 만들어진 최초의 공리계라고 할 수 있다. 이처럼 공리를 통해서 추론된 참인 명제들의 집합을 하나의 공리계로 정리한 것을 수학적 정리라고 한다.

B. 주체(Subject)와 술어(predicates)의 의미

유클리드 기하학처럼 의미론적(semantic)으로 구성된 수학적 정의와 개념들은 논리적인 관계로 구성되어있어, 일상 언어보다 더 명확하고 신뢰할 수 있는 성질을 지닌다. 그렇다면, 이 공리계 체제에 존재하는 수학적인 주체와 술어는 어떤 의미를 가지게 되는가? 먼저, 주체들은 개개의 고유한 특성을 가지고, 술어는 개체의 속성이라는 의미를 가질 수 있다.  예를 들어 1과 2는 그 표현 자체로 이상적인 존재의 의미를 부여받는 것이며 "1과 2는 자연수이다"라는 술어를 통해서 주체들의 속성은 자연수다라는 의미를 부여한다는 것이다.

C. 수학적 명제가 가져온 의문점

초기 수의 성질은 카운팅(counting)이라는 속성을 가졌다. 가축이나 여러 가지 건축 자재 등 여러 가지 실체들을 셈하는데 숫자가 필요했을 것이다. 이후의 유클리드 기하학과 아리스토텔레스의 논리학을 거친 수학적 명제로 체계화된 공리계들은 논리적, 공간적, 그리고 명제의 성질까지 갖추게 되었다. 하지만, 이러한 사실은 우리가 숫자가 과연 무엇을 의미하는 가에 대한 의문을 가져오게 된다. 예를 들면, 기하학적 관점에서 "~는 한 점 위에 있다."라는 명제를 보자. 이러한 술어를 수학적 주체가 가지게 된다면, 그저 잘 체계화되고 명확히 기술 가능한 언어라는 것 외에  수학은 언어와 다를 바가 없다. 수를 무엇에 빗대는가에 따라서 공리계는 모순이 발생하기도 한다. 명제에서의 모순을 없애는 가장 확실한 방법은 무엇일까? 바로 명제의 참, 거짓 여부를 판단하지 않는 것이다.

D. 수학적 명제 형태(propositional form)의 의의

다음의 두 명제를 살펴보자. 

"x가 정수이면, x는 자연수이다."

 

"Ix → (Nx)"

 

여기에서 I는 "~는 정수이다", N은 "~는 자연수이다"를 의미하는 술어 변수이다. 단순한 명제적 의미에서는 차이가 없지만, 수학적 명제 형태인 기호로 표시함으로써, 수학자들은 공리계 내에서 그 명제가 참인지, 거짓인지 판단할 수 없다고 정의한다.  그리고 명제의 참과 거짓은 해석(interpretation)에 의해서만 결정한다. 해석은 주체와 술어의 변수가 특정 공리계 내에서 정의된 원소들이 할당되었을 때 그 명제가 참인지 거짓인지 판단하는 것이다. 물론 이와 같은 처사가 위에서 언급한 의문점을 없애는 것은 아니지만, 수학적 약속이니 그냥 받아들이자.

 

다시 명제의 형태로 돌아와서, 해석을 하지 않는 수학적 명제의 형태가 바로 우리가 배워왔던 공식(fomula)이다. 어떤 공식 또는 방정식(equation)이다. 따라서 참이기 위한 어떤 방정식의 해를 찾는 과정이 바로 계산(calculus)이다.

3. 수학적 귀결(Consequence)

A. 수학적인 귀결이란?

공리계의 정리를 통해서 수학은 이제 공간적인 속성까지도 갖추게 되었다. 바로 공리계를 통해서 구성된 수학적 공간이다. 발전된 수학 체계에서 이 공리계들의 집합을 수학적 정리라고 하며, 공리로부터 출발한 공리계를 수학적으로 정리한 것을 귀결(Consequence)이라고 한다. 

B. 항진식(tautology)의 의미

항진식이란 항상 참이되는 논리식을 의미한다. 예를 들어, 이전에 배운 논리 관계에서 함의(implication) 관계를 생각해보자.

 

"A→B"

 

A와 B 명제는 모두 논리적으로 T 혹은 F인 두 가지 상태만을 갖는다. 위 명제가 항진 식이 되어야 할 조건은 무엇인가? 항진식의 조건에 대해 알기 전에 위의 명제를 논리적으로 분석해보자.

 

먼저, A가 참일 경우, B는 참 혹은 거짓이다. B가 참이라면 위 명제는 참이고 거짓이라면 위 명제는 거짓이다. A가 거짓일 경우, B가 참이면 위 명제는 참이 된다.  아무리 앞에서 1=0이고 0=1이라고 주장해도 B라는 명제에 영향을 주지 않는다. 그렇다면, A와 B가 둘 다 거짓이면 어떤가? B가 거짓이니 위 명제는 거짓인가? 논리학에서는 이러한 명제 관계는 참이라고 본다. 왜냐하면 뒤집어서 부정하면 말이 되기 때문이다. 이를 대우라고 부른다. 예를 들어, A는 "1=0", B는 "0=10"을 말하는 거짓된 두 명제라고 하자. 둘 다 거짓된 명제이지만, 다음과 같은 대우 명제는 진실만을 말하며 이는 두 명제가 참인 조건과 동일하다. 

 

"¬B→¬A"

 

이를 바탕으로 항진식조건으로 다시 돌아와 생각해보자.

함의 관계가 항진식이 되기 위한 조건은 A가 참이고 B가 거짓인 경우만 제외하면 된다. 

C. 수학적 귀결의 의미

논리학적 지식에 힘입어, 수학적 귀결의 정의는 다음과 같은 정리에 도달하게 된다.

 

"한정된 공리계 집합 A에서 모든 공리계들의 공통된 집합 B로부터 귀결된 명제가 C 라면, C는 항진식이다."

 

위 명제가 항진식일 조건이 무엇인가? 함의 관계이므로 가정 명제가 참이고 결론 명제가 거짓이지 않음을 보이면 된다. 수학적인 귀결은 다음의 단계를 따라서 항진식임을 증명한다.

 

Ⅰ. 먼저, 명제 C가 B로부터 귀결되었다고 가정한다. 

 

Ⅱ.  그러면 B이면 C이다라는 함의 관계에서 주어진 수학적 주체들에 대해 모든 해석은 참이어야 한다.

 

Ⅲ. 주어진 수학적 주체들의 영역 D에서 B가 거짓인 경우, 2번 명제는 무조건 참이 된다. 

 

Ⅳ. 주어진 수학적 주체들의 영역 D에서 B가 참인 경우, C가 참이 되므로 2번 명제는 또한 참이다. 

 

* 거짓은 왜 아닌가? 

그것은 공리계의 시초인 공리가 주어진 주체 영역 D에서 항상 참인 명제이기 때문이다. 

 

Ⅴ. 따라서, 명제 C는 B로부터 귀결되었다는 추론은 사실이 된다.

 

Ⅵ. 다음은 B로부터 귀결된 명제 C 라면, C가 항진식이라고 가정한다.

 

Ⅶ. 가정된 상황이 아니라면, D영역에서 B는 참이지만, C는 거짓이어야만 한다. 

 

Ⅷ. C가 거짓이면, B이면 C이다라는 추론에 모순이 발생하므로 C는 항진식이 맞다.

 

 

 

* 다음 강의는 공리계의 성질입니다.

[Section 1] 공리계의 성질