[Section 1] 경로 함수의 미분과 적분

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[INTRO] 다변수 미적분학 미리 보기

INTRO

경로 함수에 대한 미분과 적분의 정의를 알아보고, 그 의미를 해석해보자.

경로 함수의 미분 _ 속도와 가속도

주어진 경로 함수의 미분 정의는 다음과 같다.

 

경로 함수의 미분

 

경로 함수의 매개 변수 t를 시간으로 두고 함숫값을 위치로 보면, 경로 함수의 미분 결과는 속도가 된다. 그리고 한번 더 미분이 가능하다면, 미분의 결과는 가속도 개념과 일치한다.

 

그렇다면, 경로 함수의 속도 관점에서 경로 함수가 나타내는 곡선의 길이를 계산할 수 있지 않을까?

근사적 곡선의 길이

주어진 경로 함수 f(t)가 존재한다고 가정하고, 다음과 같이 t의 극한적 정의로 곡선을 나타내 보자. 

곡선의 근사적 길이

극한적 정의에 따라 곡선의 경로를 직선으로 근사 시킬 수 있다. 그렇다면, 극한적 관점에서 곡선의 미소 길이를 미소 시간으로 나눈 것이 바로 속도일 것이다. 경로 함수에 대한 미분이 속도 개념과 일치하기 때문에 우리는 곡선의 미소 길이를 다음과 같은 적분 형태로 정의할 수 있다.

 

미소 곡선의 길이

 

위와 같은 적분식을 통해서 미소 곡선의 길이(arclength)를 근사하는 함수 S(t)를 구할 수 있다.

전체 곡선의 길이 _ 선 적분

이번에는 곡선의 범위 [a, b]에 해당하는 전체 길이를 구하는 선 적분 개념에 대해 알아보자.

먼저, 함수 S(t)와 매개변수 t의 극한값을 이용하여 경로 함수를 다음과 같은 실함수 F로 매개변수화 한다.

 

새로운 함수 F

 

이 새로운 함수 F를 주어진 범위 내에서 적분한다면, 곡선의 전체 경로를 얻게 될 것이다. 이를 선적분이라고 한다.

 

선 적분의 정의