[Section 1] 벡터 내적의 의미

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[INTRO] 다변수 미적분학 미리 보기

INTRO

벡터에는 단위 벡터를 통해서 그 방향을 나타내고, 스칼라를 통해서 그 크기 속성을 알 수 있다. 기본적인 벡터의 속성을 알아보고, 내적을 통해 어떻게 벡터의 속성이 변화하는지 이해해보자.

벡터의 속성 _ 기준과 크기

벡터에는 기준과 크기 속성이 존재한다. 예를 들어 다음의 2차원 평면을 통해서 두 벡터의 기울기와 길이를 구해보자.

벡터의 길이와 기울기

 

벡터의 길이를 L이라고 할 때, 주어진 벡터의 길이 제곱, L² = 2²+2²이다. 그리고 그 기울기는 2/2로 1이 된다. 선형 대수학에서는 벡터의 길이와 기울기 속성을 크기(Magnitude)와 기준(Norm)으로 대신한다. 크기와 기준에 대한 정의는 다음의 정리를 참고하자.

 

벡터의 크기와 기준

 

이처럼 벡터의 크기는 자기 자신과의 내적으로 간단히 구할 수 있다. 그렇다면, 만약 두 벡터 A, B가 존재하고 두 벡터의 내적 값이 0이라면 어떻게 될까? 내적 연산은 두 벡터의 관계를 나타내는데도 아주 유용하다.

두 벡터의 관계 _ 거리 속성과 직교 관계

먼저 2차 평면상에서 존재하는 다음의 두 벡터 A와 B를 한번 보자.

두 벡터의 관계

 

두 벡터의 연산은 새로운 C 벡터를 형성했고, 그 크기는 4이다. 이처럼 두 벡터의 차를 통해 형성된 벡터의 크기가 바로 두 벡터 사이의 떨어진 거리가 된다. 위의 그림에서 새로 형성된 벡터의 크기 속성만을 따져보면, 정확히 A와 B 사이의 거리가 된다. 이 C 벡터는 두 벡터 사이의 거리를 기하학적으로 보여주지 않기 때문에 거리 관점에서 두 벡터의 차이를 새롭게 정의한 개념이 존재한다. 다음의 기하학적 정의를 참고하자.

 

두 벡터의 기하학적 연산

 

이번에는 두 벡터의 내적 연산을 수행해보자. 두 벡터 A, B의 내적 결과는 0이다. 이것이 무엇을 의미하는가? 두 벡터의 내적 연산은 두 벡터 사이의 각도를 알려준다. 다음의 기하학적 정의를 통해서 내적 연산이 갖는 의미를 이해하자.

 

두 벡터의 관계

 

결론적으로 두 벡터 A와 B의 내적 결과가 0이라는 것은 두 벡터의 사잇각이 90도라는 사실이다. 즉, 두 벡터의 관계는 서로 수직 하다. 

단위 벡터의 등장

벡터의 좌표는 방향을 알려주지만, 크기 속성 때문에 두 벡터의 관계를 복잡하게 만든다. 이에 크기가 1이지만, 그 벡터의 방향을 알려주는 단위 벡터 개념이 등장했다. 단위 벡터의 정의는 다음을 참고하도록 하자.

 

단위 벡터의 정의

 

* 단위 벡터의 정의에 따라, 단위 벡터끼리의 내적은 항상 1보다 작거나 같다. 

 

 

* 다음 강의는 벡터와 행렬식입니다.

[Section 1] 벡터와 행렬식