[Section 1] 벡터와 행렬식

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[INTRO] 다변수 미적분학 미리 보기

INTRO

행렬식을 정의하고 두 벡터가 만드는 행렬의 행렬식을 통해 그 기하학적 의미에 대해 알아보자. 

행렬식 계산 방법

가장 간단한 2 x 2 행렬의 경우를 예를 들어 행렬식의 정의를 알아보자.

 

2차원 행렬의 행렬식

 

선형 대수학에서는 이 행렬 식에 관한 일련의 정리들이 존재한다. 

 

행렬식 관련 정리

 

그렇다면, 3x3행렬에 대한 행렬식은 어떻게 구할 수 있을까? 이는 다음을 참고하자.

 

3차원 행렬의 행렬식

행렬식의 의미 _ 2차원 벡터 공간

2차원 벡터 공간에 존재하는 어떤 두 벡터 A와 B에 대하여 2 x 2 행렬을 형성할 수 있다. 

 

두 벡터의 행렬

 

 이 2x2 행렬의 행렬식은 어떤 의미를 갖고 있을까? 기하학적 관점에서 보면, 두 벡터의 행렬식은 두 벡터가 형성하는 평행 사변형의 면적을 의미한다. 이를 증명하는 과정은 다음과 같다.

 

두 벡터 A와 B가 이루는 사잇각은 90도보다 작다고 하자.

그리고 두 벡터 A와 B가 형성하는 평행 사변형에 대한 높이를 다음과 같이 구해보자.

 

두 벡터 A와 B

 

평행사변형의 기하학적 정의에 따라 A와 B 벡터가 만드는 평행사변형의 면적은 ||A|| x ||B|| x sin θ 가 된다.

그렇다면 이번에는 행렬식을 제곱하고 다음과 같이 식을 전개해보자.

 

행렬식의 기하학적 의미

 

놀랍게도 면적의 제곱과 동일한 결과식을 얻게 되었다.

 

* 한편, 방향이 같은 두 벡터가 만드는 행렬의 행렬식은 항상 0이 된다. 이 점을 명시하도록 하자.

 

 

* 다음 강의는 경로의 의미입니다.

[Section 1] 경로의 의미