[Section 1] 경로의 의미

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[INTRO] 다변수 미적분학 미리 보기

INTRO

벡터 공간에서 경로에 대한 의미를 알아본다.

매개 변수화와 경로

어떤 실수 a와 b에 대해서 연속된 간격을 C라고 정의한다면, C는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

"C=[a, b] or (a, b)"

 

여기에서 '[...]'과 '(...)'는 a와 b를 포함할 것인지 아닌지를 의미하는 수학 기호이다. 예를 들어, [a, b]는 a 이상 b 이하이고 (a, b)는 a 초과 b 미만이라는 의미를 내포한다.

 

이 연속된 간격을 바탕으로 다음의 경로 개념을 알아보자.

 

경로의 정의

 

곡선에서 매개변수화 하여 나타낸 x는 함수의 상(image)이라고 말할 수 있다. 벡터 공간에서 경로는 하나의 매개변수를 가지는 대표적인 벡터 값 함수(Vector-valued function)이다. 

경로의 응용 _ 원의 방정식

곡선의 대표적인 예시인 원의 방정식을 통해 경로가 어떻게 벡터를 매개변수로 갖는지 이해해보자. 2차원 평면에서 원의 방정식과 그 상(image)은 다음과 같다.

원의 방정식

 

오른쪽의 식을 잘 보면 원의 방정식을 하나의 변수로 나타낼 수 있다는 것을 알 수 있다. 따라서 벡터 값 함수 f(t)는 각도를 변수로 하는 함수가 되는 것이다. 그렇다면, 벡터 공간에서 직선을 어떻게 매개변수화 할 수 있을까?

직선의 매개변수화

직선의 경우, 0이 아닌 벡터와 하나의 점 벡터를 사용하여 직선을 매개 변수화 한다. 다음의 정의를 참고하자.

 

직선의 매개변수화

 

위에서 정의한 f(t) 함수는 직선을 매개변수 t에 대해 나타낸 것으로, 점 벡터 P를 지나고 벡터 V와 평행하다는 사실에 주목하자. 

 

* 다음 강의는 경로 함수의 미분과 적분입니다.

[Section 1] 경로 함수의 미분과 적분