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MATHEMATICS

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[Section 1] 부분 순서 집합의 의미 일반 대수학 목차 보기 [INTRO] 일반 대수학 미리보기 언어의 모순성 플라톤은 이데아라는 개념을 통해서 모든 인식 객체의 초월적 실체를 주장했다. 모든 실체는 반드시 초월적 실체를 가져야 할까? 한편, 고대 로마 시기의 그리스 hookspedia.tistory.com INTRO 집합의 크기가 같다고 해서 두 집합의 비교가 반드시 동일한 순서를 따라야 하는 것은 아니다. 이를 위해서 집합의 원소에 순서 개념이 필요하다. 부분 순서 개념을 통해서 어떤 집합이 정렬성을 가지는 것에 대해 이해해보자. 이항관계와 부분 순서 집합 이항관계는 어떤 집합에 대한 반사, 대칭, 그리고 추이 관계가 성립하는 원소 쌍을 원소로 가지고 있기에 순서 개념을 부여하기에 적합하다. 따라서, 이항관계에서 순서 개념을 따로 추상화..
[Section 1] 집합의 확장과 관계 일반 대수학 목차 보기 [INTRO] 일반 대수학 미리보기 언어의 모순성 플라톤은 이데아라는 개념을 통해서 모든 인식 객체의 초월적 실체를 주장했다. 모든 실체는 반드시 초월적 실체를 가져야 할까? 한편, 고대 로마 시기의 그리스 hookspedia.tistory.com INTRO 집합의 개념이 어느 정도 잡혔으니, 이제 집합 개념을 조금씩 확장해보자. 먼저, 집합에는 정수, 유리수와 무리수, 그리고 실수까지 집합의 확장이 가능하다. 그리고 이들의 관계는 벤 다이어 그램으로 나타내는 것이 널리 알려져 있다. 이들의 관계를 기호로 간략히 나타내어보자. 자연수부터 정수, 유리수, 그리고 실수까지 자연수(Natural numbers)는 일반적으로 0을 제외하는 양의 정수로 흔히 표현한다. 이 자연수는 보통 수..
[Section 1] 집합의 분할 일반 대수학 목차 보기 [INTRO] 일반 대수학 미리보기 언어의 모순성 플라톤은 이데아라는 개념을 통해서 모든 인식 객체의 초월적 실체를 주장했다. 모든 실체는 반드시 초월적 실체를 가져야 할까? 한편, 고대 로마 시기의 그리스 hookspedia.tistory.com INTRO 집합을 분할하게 되면 크기가 작아지므로 원소를 다루기가 쉬워진다는 장점을 가지고 있다. 따라서 집합의 분할은 집합을 분석하는데 아주 유용한 기술이다. 집합 분할의 결과 _ 셀(Cell) 어떤 집합의 원소들 중 어느 하나라도 중복된 원소가 없다면, 그 집합은 둘 이상의 집합으로 분할(Partition) 가능하다. 이렇게 생성된 집합의 하위 집합을 셀(Cell)이라고 부른다. 일반적으로 셀의 기호는 대수학에서 다음과 같은 기호를 ..
[Section 1] 직선 벡터의 속성 기하학 목차 보기 [Intro] 기하학 미리보기 유클리드 기하학은 고대 그리스 수학자 유클리드가 구축한 최초의 공리계이다. 직관적 공리를 참으로 간주하고 이끌어낸 정리는 평면에 대한 기하학으로 시작해, 현재는 3차원 공간 기하학까지 hookspedia.tistory.com INTRO 점들이 모여 직선을 이루고, 직선이 모이면 평면이 된다. 하지만, 직선들의 관계식을 고려해보면, 평면을 기술하기가 매우 복잡해진다는 것을 알 수 있다. 이번에는 직선의 내적 연산과 속성을 통해서 유클리드의 평면을 쉽게 이해할 수 있는 기반을 마련해보자. 직선 벡터의 크기와 내적 연산 직선 벡터의 가장 기본적인 속성은 바로 크기이다. 어떤 직선 벡터의 크기를 구하는 공식은 다음과 같다. 직선 벡터의 크기는 내적 연산을 통해서도..
[Section 2] 선형 매핑의 의미 선형대수학 목차 보기 [INTRO] 선형대수학 미리보기 선형대수학은 대수학의 집합론을 기반으로 하여 벡터 공간, 선형 변환, 행렬을 이용한 선형 방정식 등을 연구하는 대수학의 한분 야이다. 대수학을 뿌리로 두지만 그 내용이 방대하여, 따로 선 hookspedia.tistory.com INTRO 선형 매핑은 함수로써의 기능을 의미한다. 즉, 선형 맵은 어떤 벡터 공간에 대한 하위 공간으로써 함수 공간을 분리시키는 성질을 갖는다. 이번에는 선형 매핑의 속성에 대해 알아보자. 선형 매핑(Linear Mapping) 어떤 벡터 공간 V에 대한 필드 K를 고려하자. 선형 매핑은 다음과 같은 기호로 나타내고, 두 가지 기본적인 특성을 가지고 있다. 위 조건에 따라 분류된 선형 함수 F를 K-선형(K-linear)이..
[Section 1] 직선들의 관계와 선형 방정식 기하학 목차 보기 [Intro] 기하학 미리보기 유클리드 기하학은 고대 그리스 수학자 유클리드가 구축한 최초의 공리계이다. 직관적 공리를 참으로 간주하고 이끌어낸 정리는 평면에 대한 기하학으로 시작해, 현재는 3차원 공간 기하학까지 hookspedia.tistory.com INTRO 실수 체계의 벡터 공간에서 한 점을 공유하는 직선은 무수히 많다. 무수히 많은 직선들이 어떠한 점도 공유하지 않는다면, 그 직선들은 모두 평행한 직선일 것이다. 무수히 많은 직선들을 선형 방정식으로 표현해보자. 한 점을 지나는 직선의 방정식 어떤 점 P를 지나는 직선의 방정식을 수식으로 나타내 보자. 어떤 점이 원점이 아니라면, 직선의 방정식은 다음과 같은 선형 시스템으로 정의할 수 있다. 직선들의 관계 이번에는 직선이 3개..
[Section 2] 함수 _ 사상과 상 선형대수학 목차 보기 [INTRO] 선형대수학 미리보기 선형대수학은 대수학의 집합론을 기반으로 하여 벡터 공간, 선형 변환, 행렬을 이용한 선형 방정식 등을 연구하는 대수학의 한분 야이다. 대수학을 뿌리로 두지만 그 내용이 방대하여, 따로 선 hookspedia.tistory.com INTRO 대수학에서는 함수를 둘 이상의 집합이 가지는 원소들의 관계로 정의한다. 선형 대수학의 사상(mapping)과 상(image) 개념에 대해 알아보자. 매핑(mapping)과 이미지(image) 어떤 두 집합 A와 B가 존재한다고 가정하자. 그리고 어떤 함수 F가 존재하여 집합 A의 원소를 집합 B의 원소로 치환시키는 것을 사상이라고 말한다. 즉, 함수 F를 통해서 A의 원소 a가 B의 원소 b로 바뀌게 된다. 이때 ..
[Section 1] 선형 방정식과 그 해 선형대수학 목차 보기 [INTRO] 선형대수학 미리보기 선형대수학은 대수학의 집합론을 기반으로 하여 벡터 공간, 선형 변환, 행렬을 이용한 선형 방정식 등을 연구하는 대수학의 한분 야이다. 대수학을 뿌리로 두지만 그 내용이 방대하여, 따로 선 hookspedia.tistory.com INTRO 선형 방정식은 선형 조합식을 이용하여 나타내므로, 행렬로 간단히 표기할 수 있다. 선형 방정식 개념을 간단히 알아보고, 이를 행렬로 표기해보자. 선형 방정식 _ 행렬 표현 방법 어떤 K 필드가 존재한다고 가정하자. 다음의 조건을 만족하는 i와 j에 대해 만들어진 선형 조합식을 선형 방정식(Linear Equation)이라고 부른다. 행렬로 나타낸 이 성형 방정식은 일반적으로 선형 계(System)라고 하며, 이 선..
[Section 1] 행렬 연산의 기본 선형대수학 목차 보기 [INTRO] 선형대수학 미리보기 선형대수학은 대수학의 집합론을 기반으로 하여 벡터 공간, 선형 변환, 행렬을 이용한 선형 방정식 등을 연구하는 대수학의 한분 야이다. 대수학을 뿌리로 두지만 그 내용이 방대하여, 따로 선 hookspedia.tistory.com INTRO 행렬의 가장 기본적인 연산인 합과 곱에 대해서 알아보자. 행렬 연산의 기본 _ 합과 차 행렬의 합은 기본적으로 같은 행과 같은 열에 대해서 연산을 수행한다. 다음의 표현을 참고하자. * 주의해야 할 점은 행렬의 행과 열이 일치해야 합과 차 연산을 수행할 수 있다는 점이다. 대각 성분과 단위행렬 행과 열이 동일한 성분을 그 행렬의 대각 성분(Digonal Component)라고 부른다. 그리고 그 행렬이 n차 정사각..
[Section 1] 벡터의 성질 선형대수학 목차 보기 [INTRO] 선형대수학 미리보기 선형대수학은 대수학의 집합론을 기반으로 하여 벡터 공간, 선형 변환, 행렬을 이용한 선형 방정식 등을 연구하는 대수학의 한분 야이다. 대수학을 뿌리로 두지만 그 내용이 방대하여, 따로 선 hookspedia.tistory.com INTRO 벡터에는 다양한 성질이 존재한다. 이 벡터의 성질 이해는 벡터 공간을 기술하고, 다루는 데에 있어 필수적이다. 벡터의 직교성 어떤 필드 K에 대한 벡터 공간 V 집합을 가정하자. 벡터의 내적 연산(dot product or scalar product)은 다음의 선형 조합식으로 정의한다. 그리고 벡터의 내적 연산의 특징은 다음의 세 가지 조건을 만족한다. 벡터 내적을 통해서 벡터의 직교 성질을 정의할 수 있다. 두 ..
[Section 1] 등가 관계와 동치 관계 일반 대수학 목차 보기 [INTRO] 일반 대수학 미리보기 언어의 모순성 플라톤은 이데아라는 개념을 통해서 모든 인식 객체의 초월적 실체를 주장했다. 모든 실체는 반드시 초월적 실체를 가져야 할까? 한편, 고대 로마 시기의 그리스 hookspedia.tistory.com INTRO 이항관계 혹은 동치 관계라고도 불리는 관계 집합은 어떤 세 가지 조건을 만족하는 경우를 의미한다. 이 세 가지 특정 조건에 대해서 알아보자. 등가 관계 _ Equality Relation 등가 관계의 정의는 다음과 같다. 정의에 따라서 어떤 두 집합의 관계가 등가이면, 두 집합의 크기(Cardinality) 또한 등가 관계가 성립한다. 이항관계 _ Binary Relation 동치 관계(Equivalence Relation)도..
[Section 1] 함수의 종류 일반 대수학 목차 보기 [INTRO] 일반 대수학 미리보기 언어의 모순성 플라톤은 이데아라는 개념을 통해서 모든 인식 객체의 초월적 실체를 주장했다. 모든 실체는 반드시 초월적 실체를 가져야 할까? 한편, 고대 로마 시기의 그리스 hookspedia.tistory.com INTRO 전단사 함수는 두 집합의 원소 개수가 동일하기에 역으로도 그 관계를 나타낼 수 있다. 이를 역함수라고 부른다. 만약 두 집합의 원소 개수가 다르거나 관계가 중복된다면 어떨까? 이에 대한 답을 알기 위해서 다른 함수의 종류에 대해 알아보도록 하자. 관계에 따른 종류 _ 전단사 함수와 역함수 먼저 전단사 함수(bijective function)는 기본적으로 두 집합의 원소 개수가 동일하며, 그 관계를 중복이 없는 일대일 대응관계로..

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