[Section 2] 선형 매핑의 의미

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[INTRO] 선형대수학 미리보기

INTRO

선형 매핑은 함수로써의 기능을 의미한다. 즉, 선형 맵은 어떤 벡터 공간에 대한 하위 공간으로써 함수 공간을 분리시키는 성질을 갖는다. 이번에는 선형 매핑의 속성에 대해 알아보자.

선형 매핑(Linear Mapping)

어떤 벡터 공간 V에 대한 필드 K를 고려하자. 선형 매핑은 다음과 같은 기호로 나타내고, 두 가지 기본적인 특성을 가지고 있다. 

 

선형 함수의 의미

 

위 조건에 따라 분류된 선형 함수 F를 K-선형(K-linear)이라고 부른다. 이 K-선형 함수는 행렬로 나타내는 것이 일반적이다. 이는 다음의 행렬 정의를 참고하자.

 

선형 맵의 행렬화

벡터 공간의 기저와 선형 매핑의 유일성

선형 맵의 행렬화는 벡터 공간의 기저와 함께 나타내어 유일성의 성질을 갖게 된다. 다시 말하자면, 어떤 벡터 공간에 대해 K-선형 함수가 갖는 유일성은 자명해와 비자명해이다.

 

벡터 공간의 동형 사상

 

* 한편, 어떤 벡터 공간 V에 대해서 선형 매핑의 결과로 존재하는 모든 원소가 원래의 벡터 공간 V의 원소와 동일한 경우를 항등 매핑(identity mapping)이라고 부른다.