[Section 1] 벡터의 성질

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[INTRO] 선형대수학 미리보기

INTRO

벡터에는 다양한 성질이 존재한다. 이 벡터의 성질 이해는 벡터 공간을 기술하고, 다루는 데에 있어 필수적이다.

벡터의 직교성

어떤 필드 K에 대한 벡터 공간 V 집합을  가정하자. 벡터의 내적 연산(dot product or scalar product)은 다음의 선형 조합식으로 정의한다. 

 

내적연산

 

그리고 벡터의 내적 연산의 특징은 다음의 세 가지 조건을 만족한다.

 

내적 연산의 성질

 

벡터 내적을 통해서 벡터의 직교 성질을 정의할 수 있다. 두 벡터의 직교 성(perpendicular)은 어떤 필드 K에 대한 벡터 공간 V에서 나타나는 성질이다. 

 

벡터의 직교성

벡터의 선형성

벡터의 선형성은 선형 독립과 선형 종속으로 나눌 수 있다. 필드 K에 대한 어떤 벡터 V는 다음의 조건을 만족하는 집합 A가 반드시 존재한다. 

 

선형 조건식

 

집합 X의 모든 원소가 0이라면, 어떤 벡터가 오더라도 위 선형 조건식은 반드시 만족할 것이다. 이 조건을 제외하고, 선형 조합식을 만족시키는 X 집합의 원소에 대해 생각해보자.

A. 선형 독립(Linearly independent)

먼저, 집합 X의 모든 원소가 0이 아니고 위 선형 조건식을 만족하는 집합 X에 대해 생각해보자. 이 조건에 해당하는 선형성을 선형 독립이라고 부른다.  

B. 선형 종속(Linearly dependent)

반면에 선형 종속은 조건식을 만족하는 집합 X의 원소가 0을 제외하면 존재하지 않는 경우를 말한다. 이 경우의 선형성을 선형 종속이라고 말한다.