[Section 1] 행렬의 기본 정리

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[INTRO] 선형대수학 미리보기

INTRO

벡터 공간의 행렬화로 인해서 n개의 연립 일차 방정식을 한 줄로 나타내는 것이 가능하다. 벡터 공간을 행렬로 표기하는 것은 우리가 벡터 공간을 더 잘 이해하는 데에 있어 필요한 수학적 기법이다. 

행렬의 기본

A. 벡터 공간의 필드, K

어떤 벡터 공간 V가 존재하고 그 필드가 K라고 가정하자. 이 필드에 1보다 큰 정수 n과 m에 대해서, 필드의 원소를 다음과 같이 체계적인 행렬로 나타낼 수 있다. 이를 필드 K에 대한 행렬(matrix)이라고 하고, m 바이(by) n 행렬이라고 읽는다.  

 

행렬과 그 표기

 

i는 1부터 m까지의 행(rows)이 되고, j는 1부터 n까지의 열(colmns)이 된다.   

B. 행렬의 부분화

a_ij 로 표현한 행렬의 표기를 ij-엔트리(entry)라고 부르는데, 이는 행렬의 ij-성분이라는 의미를 갖는다. ij-엔트리는 다음과 같이 1행 또는 1열 과 같은 부분 행렬만 따로 추출한 경우, 다음과 같은 표기(notation) 방법으로 부분 행렬을 따로 나타낸다.   

 

부분 행렬 표기법

C. 행렬의 기본 용어

벡터 공간을 행렬로 표현함에 있어, 다음의 기본 용어들은 숙지해야 한다. 예를 들어, m 바이 n 행렬에서 m열로 표기한 부분 행렬을 열 벡터(column vector)라고 하고, 이는 n바이 1 행렬이 된다.

 

한편, m과 n이 같은 경우, m 바이 n 행렬을 정사각형 행렬(square matrix)이라고 한다. 만약 행렬의 모든 값이 0이라면, 그 행렬은 0 행렬(zero matrix)이라고 정의한다. 행렬은 기본적으로 같은 크기에 대해서만 연산이 가능한 것으로 유명한데, 행렬의 덧셈과 곱셈을 계산하는 방법에 대해 자세히 알아보기로 하자.

행렬의 기본 연산 정리

A. 행렬의 덧셈(addition)

m 바이 n 행렬끼리 덧셈을 한다고 할 때, 1보다 크거나 같은 m과 n에 있어서 A와 B행렬이 다음과 같이 나타낸다고 하면 A+B 행렬은 각각의 행과 열에 맞는 원소끼리 덧셈을 해주면 된다. 

 

행렬의 덧셈

 

영 행렬과의 연산은 항상 그 결과가 자기 자신이 된다. 

B. 행렬의 스칼라 곱(multiplication)

벡터를 행렬화 하여 나타낸 임의의 ij-엔트리 행렬이 있다고 하자. 이때, 벡터 행렬의 원소에 포함된 숫자(스칼라)들은 간단하게 곱 연산이 가능하다. 모든 행렬에 임의의 c 원소의 곱이 존재한다면, 다음과 같은 형태로 표기하는 것이 가능하다.

 

스칼라 곱의 행렬화

C. 전치 행렬과 단위행렬

어떤 m 바이 n 행렬 A가 n 바이 m 행렬 B로 원소를 뒤바꿈으로써 얻어질 수 있다. 이때, A 혹은 B를 B의 혹은 A의 전치(transpose) 행렬이라고 표현한다. A와 B행렬이 같으면 그 행렬을 대칭적(symmetric)이라고 말한다. 어떤 행렬의 전치 행렬은 간단히 다음과 같이 기호로 나타낸다.

 

전치 행렬

 

어떤 정사각형 행렬인 a_ij 가 있다고 하자. 이 행렬의 a_ii 원소를 대각(digonal) 성분이라 한다.  대각 성분만 존재하고 나머지 원소들은 0인 행렬을 대각 행렬(digonal matrix)이라고 표현한다. 

 

단위행렬은 대각 행렬의 모든 원소가 1인 행렬을 의미한다. 

 

* 다음 강의는 행렬 연산의 기본입니다.​

[Section 1] 행렬 연산의 기본