[Section 1] 벡터의 차원(Dimension)

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[INTRO] 선형대수학 미리보기

INTRO

선형대수에서 말하는 벡터와 차원의 개념은 우리가 현실을 인지하는 공간과는 살짝 다르다. 현실을 시간과 공간으로 구분하는 3차원이라고 할 때, 벡터 공간은 3차원뿐만 아니라 N차원까지 공간의 개념을 확장할 수 있다.

벡터 공간의 구분 _ 기저 벡터

어떤 벡터들이 벡터 공간 V를 생성(generate)한다는 것은 그 벡터들의 모임에 의해서 V라는 벡터 공간이 만들어지는 것을 의미한다. 만약 n 개의 원소만으로 벡터 공간 V를 생성할 수 있다면, 그 원소들을 어떻게 정의해야 할까? 이 원소들은 다음과 같이 정의할 수 있으며, 이들을 벡터 V에 대한 기저(basis)라고 부른다.

 

기저 벡터의 의미

벡터 공간의 구분 _ 좌표 벡터

앞서 정의한 바와 같이, 기저 벡터를 이용하면 벡터 공간의 모든 원소들을 기저 벡터와 좌표(coordinate)의 선형 조합으로 나타내는 것이 가능하다. 이 기저 벡터에 해당하는 좌표들을 좌표 벡터로 정의한다. 

 

좌표 벡터의 의미

벡터의 차원(dimension)

벡터의 크기는 그 집합의 크기로 비교한다. 그리고 기저 벡터의 크기가 n 개라면 그 벡터의 차원은 n차원이라고 말한다. 따라서 스칼라 원소가 좌표가 되고, 벡터 공간을 형성한다. 예를 들어, 3차원 공간을 기저로 하면, 다음과 같은 공간을 상상할 수 있다. 

 

3차원 기저 벡터

 

위에서 보인 상상의 공간은 3개의 축으로 이루어진 3차원 공간이다. 이 3차원의 점, 선, 그리고 면의 개념과 유사하게 벡터 공간에서도 선과 면의 개념이 존재한다.

벡터 공간의 선과 면

차원의 기호는 dim으로 표시하여 나타낸다. 그리고 3차원 기저를 가지는 벡터 공간 V는 dim V = 3으로 표시한다. 만약 각각의 기저 벡터의 원소들이 0 벡터 이거나 유한한 수의 좌표들로 구성되어있다면, 그 벡터 공간을 유한 차원(finite dimensional)이라고 한다. 축과 좌표 어느 하나라도 유한하지 않은 경우, 우리는 그 벡터 공간을 무한 차원(infinite dimensonal)이라고 말한다. 

 

선형대수학에서는 유한 차원을 가정하여 벡터 공간을 기술한다. 그리고 이 벡터 공간은 선과 면의 개념을 가지고 있다. 예를 들어, 어떤 필드 K에 대한 벡터 공간을 상상해보자. 만약 벡터 공간 V가 1차원이라면, K의 원소는 그 자체가 필드이기도 하면서, 기저 벡터가 된다. 

 

벡터 공간 V가 2차원이라면 어떨까? 이 V에 대한 기저 벡터는 2개의 원소를 갖는다. 그리고 각각의 기저 벡터는 모두 1차원의 하위 공간 벡터와 동일하다. 이 1차원 하위 공간 벡터를 선(Line)이라고 부른다. 마찬가지로 V가 3차원 일 때, 2차원의 하위 공간은 면(Plane)이 되고, 1차원의 하위 공간은 선이 된다.