[Section 1] 벡터 공간의 정의

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[INTRO] 선형대수학 미리보기

INTRO

선형 대수학에서 복소수는 공간을 나타냄에 있어 적절한 성질을 지닌다. 물론 기하학처럼 수와 수를 축으로 하는 공간을 만들 수 있겠지만, 선형대수학에서는 복소수의 실상과 이미지상을 구분하여 벡터 공간을 구축한다. 

필드(Field)

복소수 집합 C의 어떤 하위 집합 K가 존재한다고 가정하자.

이 K 집합의 다음의 조건을 만족할 때, 이 K를 필드(Field)라고 정의한다.

 

필드의 정의

 

조건에 따라 정수 집합은 필드가 될 수 없음을 이해하자.

스칼라와 벡터(Scalars and Vector)

만약 어떤 필드 K가 존재한다면, K 집합에 포함되는 모든 원소들을 스칼라(Scalars)라고 정의한다.

 

그리고 필드 K에 대해 존재하는 벡터 공간 V의 원소들을 벡터(Vector)라고 말한다. 

벡터 공간에 대한 정의는 다음과 같다.

 

벡터 공간의 정의

벡터 공간의 하위 공간(subspace)

어떤 벡터 공간 V에 대해서 하위 공간 W를 정의하는 것이 가능하다.

이렇게 정의된 공간은 다음의 조건을 만족한다.

 

하위 공간 집합

선형 조합(Linear Combination)

임의의 벡터 공간 V에 대해서 V의 원소를 {v₁,..., v_n,}으로 두고, 어떤 스칼라 집합 X에 대해서 숫자들을 {x₁,,..., x_n,}이라고 하자. 스칼라와 벡터 공간의 원소들을 다음과 같은 선형 조합으로 표현하는 것이 가능한데, 이것을 V의 원소들의 선형 조합이라고 한다. 

 

벡터와 스칼라의 선형조합

A. 하위 공간과 선형 조합

 벡터 공간의 정의에 따라서, 다음의 명제가 성립한다. 

 

"벡터 v₁,... v_n, 의 모든 선형 조합들이 이루는 집합을 W라 하면, W는 V의 하위 공간이다."

 

만약 하위 공간 W가 위에서 보인 바와 같이 정의되면, 벡터 v₁,,..., vn, 에 의해서 하위 공간이 생성되었다고 말하고, W=V인 경우는 벡터 공간 V를 생성했다고 말한다.

B. 두 벡터의 수직(perpendicular) 또는 직교(orthogonal) 성질

어떤 벡터 공간에서 임의의 벡터 A를 정의하였을 때, 임의의 벡터 B가 A와 내적 하여 0의 선형 조합을 만드는 벡터 B의 모든 원소를 포함하는 집합을 W라 해보자.  W는 어떤 벡터 공간의 하위 공간임이 분명하고, 이 W의 모든 벡터들은 A와 수직 하다고 한다. 

 

* 벡터 간의 수직 성질에 의해서 벡터 공간이 만드는 수직은 n개의 수직 한 벡터들을 형성하는 것이 가능하다. 

반면, 기하학에서의 수직 개념은 공리에 따라서 다르지만, 보통 3차원을 이루는 3개의 직교한 축 벡터만을 형성한다.

C. 함수 공간의 정의

어떤 집합 S와 필드 K가 있다고 할 때, S집합이 K에서 함수가 된다는 것은 S에 속한 각각의 원소들이 K의 유일한 한 원소로 결합하는 연계(association)를 보여야 한다. 이러한 연계는 다음의 명제로 표기한다.

 

"f:S⟶K" 

 

이때 이 f를 K값 함수(K-valued function)라고 부른다. 만약 f, g가 두 개의 함수를 예로 들어보면, f+g로 두 함수의 합을 다음과 같이 정의하는 것이 가능하다. 

 

"(f+g)(x) = f(x) + g(x)"

 

마찬가지로 어떤 스칼라 c에 대해서도 cf를 다음과 같이 정의하는 것이 가능하다. 

 

"(cf)(x) = cf(x)"

 

* 다음 강의는 행렬의 기본 정리입니다.

[Section 1] 행렬의 기본 정리