[Section 1] 전위

전자기학 목차 보기

[Intro] 전자기학 미리보기

 

 

0. INTRO

 전기장은 회전을 하지 않는다. 따라서 전기장 벡터의 회전은 늘 0을 나타낸다. 회전이 0인 벡터는 스칼라 함수의 기울기와도 같은데, 이 스칼라 함수를 전위라 부른다. 전위에 대해서 알아보자.

1. 스토크스 정리 (Stoke's theorem)

회전의 기본정리인 스토크스 정리는 어떤 영역(면, S)에 대해서 스칼라 함수를 적분한 값과 그 경계를 나타내는 테두리(P)의 함숫값이 같다는 수학적 기본 정리이다. 

 

수식적 표현은 다음과 같다.

 

스토크스의 정리

 

* 스토크스의 정리를 통해서 전자기학의 적분 형태를 간단히 미분꼴로 나타내기도 한다. 

 

 

 

2. 전위 (Electric Potential)

스칼라 함수, 전위

전기장의 회전은 늘 0이므로, 스토크스의 정리에 따라서 전기장을 닫힌 곡선을 따라서 선적분을 한 값도 0이다. 

이 스칼라함수를 정의해보자.

 

먼저 a에서 b까지 닫힌 곡선을 따라서 선적 분한 값을 V라 가정하자. 그렇다면 그 회전은 늘 0이므로 b에서 a의 값은 -V가 된다.

 

가상 전위 개념

 

이렇게 스칼라함수를 정의하면, 우리는 닫힌 곡선 안에서의 전위만을 나타낼 수 있다.

따라서, 모든 계에서 정의 가능한 전위 개념을 위해서 특정한 기준점 O를 도입한다.

즉, 어떠한 기준점, O에 대하여 a와 b위치에서의 전위는 다음과 같이 정의한다. 

 

전위의 정의

 

3. 전위와 전기장의 관계식 유도

폐곡선 a와 b의 위치에서의 전위차를 다음과 같이 가정하자.

 

전위차와 전기장

기울기의 기본정리에 따라서 두 스칼라 함수의 차이를 정해진 경로를 따라서 점 a에서 b까지의 기울기를 선적분 한 값으로 나타낼 수 있다. 따라서 다음이 성립한다.

 

전기장과 전위의 관계식

 

4. 전위에 대한 고찰

A. 전위의 기준점 O에 대하여...

 전위의 정의에 따르면, O의 위치값에 따라서 전위 값은 늘 다른 값을 갖게 된다. 하지만 기준점이 달라지더라도 전기장 E는 똑같이 나오게 된다. 따라서 전위의 값 자체는 물리적으로 크게 중요하지 않다는 문제점을 가진다. 그렇기 때문에 정전 기학에서는 보통 전위의 기준점은 V(0)가 0을 나타낼 수 있도록, O의 위치를 한 없이 먼 지점(r=)으로 정한다. 

B. 전위는 중첩원리를 따른다.

 우리는 앞서 쿨롱의 법칙을 통해서 전기장을 유도했다. 시험 전하가 받는 힘 또한 중첩 원리를 따르고 그 힘을 시험 전하 Q로 나눔으로써 전기장 또한 중첩 원리를 따른다는 것을 알 수 있다. 보통의 기준점, O에서 각각의 전기장의 위치까지 적분을 함으로써 전위 또한 중첩 원리를 따르게 된다.

C. 전위의 단위에 대하여... 

국제단위계에 따르면, 힘의 단위는 N이다. 따라서 전기장의 단위는 N/C이 된다. 그렇다면, 전위는 어떻게 될까? 

전위는 전기장을 특정 거리까지 적분한 값이므로, 거리의 단위가 추가 된다. 따라서, N·m/C 이 전위의 단위가 된다.

이 단위를 간단히 볼트 (Volt) 라 부른다.

 

 

 

 

 

 

 

* 다음 강의는 전하 분포에 따른 전위입니다.

[Section 1] 전하 분포에 따른 전위