[Section 4] 리만적분과 가중평균 정리

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[INTRO] 벡터 분석과 미적분의 기본 미리보기

0. INTRO

베른하르트 리만은 독일의 수학자로 1800년대에 미분학과 다양한 수학적 업적을 남겼다. 특히 그의 리만 가설은 미해결 난제로 아직까지 남아있다. 그의 업적을 존중하며, 이번에는 함수의 연속성을 바탕으로 정의된 리만 적분에 대해 이야기해보고자 한다. 그리고 적분의 정의와 함께 귀결되는 따름 정리(가중 평균 정리)에 대해 알아보자.

1. 리만 적분(Riemann integral)의 정의

연속된 실수 구간에 대해서 리만의 적분 개념은 다음과 같다. 주어진 실수 영역을 끝없이 잘게 구간을 내고 간격과 함숫값을 곱한 직사각형들을 모두 합하고, 그 합을 구간의 수만큼 나눈 것이 함수의 면적 아니겠는가? 좀 더 자세히 정리하면 다음과 같다.

 

가정 조건 : 함수 f가 폐구간 [a, b]에 대해 연속적인 실수 값을 가진다고 가정하자. 

 

정리 내용 :  함수를 a에서 b까지 적분한다는 것은 다음과 같다.

 

적분의 정의

 

즉, n개의 직사각형들이 가지는 밑변은 각각의 균등한 간격이고 함숫값 f(x_i)가 높이가 된다.

2. 가중 평균 정리(Weighted Mean Value Theorem)

가중 평균 정리는 적분의 정의와 함께 나타나는 따름 정리이다. 

 

가정 조건 : 함수 f가 페구 간[a, b]에 대해서 연속하다고 가정하자. 그리고 함수 g(x) 또한 [a, b]에 대해서 연속하고 a에서 b까지 적분한 값 G(x)가 존재한다고 가정하자. 

 

정리 내용 : 함수 g(x)가 구간 [a, b]에서 단조 증가 혹은 단조 감소라면, 다음을 만족하는 변수 x'이 무조건 존재한다. 

 

가중 평균 정리

 

* 만약 g(x)가 1이라면, f(x')은 a에서 b까지 적분한 F(x)의 평균값을 나타낸다.

 

평균값의 정리

 

그리고 이것을 평균값의 정리(Mean Value Theorem)라고 부른다.