[Section 4] 미분조건의 따름 정리들(Corollaries)

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[INTRO] 벡터 분석과 미적분의 기본 미리보기

0. INTRO

이전에 미분이 가능하다는 조건으로 나타나는 따름 정리로 롤의 정리와 평균값 정리에 대해 알아보았다. 이번에는 롤의 정리를 일반화시키고, 추가적으로 미분학에서 정리한 극값 정리와 중심값 정리에 대해 알아보기로 한다.

1. 일반화된 롤의 정리(Generalized Rolle's Theorem)

롤의 정리는 폐구간 [a, b]에 포함된 x'의 특정 변수가 존재하고 함숫값 f(a)와 f(b)가 같다면, f'(x') = 0이 되는 변수 x'이 적어도 하나는 존재한다는 정리였다. 이를 n번 미분하는 것에도 성립함을 보일 수 있는데, 이 과정에서 롤의 정리를 다음과 같이 일반화시키는 것이 가능하다. 

 

가정 조건 : 함수 f(x)가 개구간(a,b)에 대해서 n번 미분 가능하다고 가정하자. 

정리 내용 :  함수 f(x)를 n+1 번째 미분한 값이 0이라면, 함수 f(x)를 n번째 미분한 함수는 F(x)라고 하자. 폐구간 [a, b]에서 존재하는 변수 x' 중에서 F(x') = 0을 만족하는 x'이 적어도 하나 이상 존재한다.

2. 극값 정리(Extreme Value Theorem)

극값 정리는 함수의 최대, 최소와 관련된 정리이다. 

가정 조건 : 함수 f(x)가 폐구간 [a,b]에 대해서 존재한다고 가정하자.

정리 내용 :  폐구간 [a,b]에 대해서 최솟값 F(x1), 최댓값 F(x2)를 만족하는 특정 변수 x1, x 2가 반드시 존재한다. 

3. 중심값 정리(Intermediate Value Theorem)

중심값 정리는 함수의 중심값과 관련된 정리이다.

가정 조건 : 함수 f(x)가 폐구간 [a,b]에 대해서 존재한다고 가정하자.

정리 내용 :  F(a)와 F(b) 사이에 존재하는 어떤 함수 값을 M이라고 하면, 그 M을 만족하는 어떤 변수 x'이 반드시 존재한다. 

 

* 위의 세 가지 추가적인 따름 정리들 역시 함수의 연속을 기본 전제로 가정하고 있다는 것을 다시 한번 명시하자.

 

 

* 다음 강의는 리만 적분과 가중평균 정리입니다.

[Section 4] 리만적분과 가중평균 정리