[Section 3] 벡터 필드와 회전(Curl)

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0. INTRO                                                                                                                 

벡터는 방향과 크기를 나타내지만, 그 방향은 항상 직선이다. 벡터로는 회전량을 기술할 수 없을까? 회전 연산자는 벡터의 크기에 해당하는 만큼의 회전량을 구해주는 연산자이다. 회전 연산자에 대해 자세히 알아보도록 하자.

1. 회전(Curl)                                                                                                           

이전에 배운 벡터의 발산을 구한다는 것은 그 벡터의 공급원(flow source)의 양을 측정하는 것과 다름이 없다. 이러한 원천에 대한 관점에서 회전량을 구한다는 것은 소용돌이 원천(vortex source)의 양을 측정하는 것이다.

 

예를 들어, 벡터 A에 대해 어떤 닫힌 경로 C를 따라서 총 회전량을 계산하는 것은 다음과 같은 스칼라 적분으로 나타낸다.

 

A벡터의 회전

 

벡터가 힘이라면, 이 선적분은 일의 양이 된다. 미소길이 dl과 내적 하는 벡터 A가 회전한 경로를 따라 물체에 작용한 힘이니까 말이다. 그렇다면, 경로 C를 포함하는 면적, S의 법선 벡터를 a_n이라고 하면 회전의 정의는 다음과 같다.

 

회전의 정의

 

회전의 정의에 따라서 어떤 벡터의 회전은 항상 방향과 면적 또는 경로에 대한 정보를 내포하고 있다. 

2. 회전의 물리적 정의                                                                                            

A벡터의 회전 연산자를 셈 한다는 것은 앞의 정의에 따라서 어떤 벡터를 구하는 것이다.

이 벡터는 극한값의 단위면적 S 당 A 벡터의 최대 총 회전량의 크기를 가진다. 여기서 최대의 의미는 회전량이 가장 큰 경로를 따라서 회전한다는 의미이다. 이렇게 정의한 회전은 회전의 방향에 따라서 두 방향을 가질 수 있다. 

 

회전의 방향에 따른 방향의 차이

 

이것은 오른속 규칙(right-hand rule)에 따라서 쉽게 알 수 있는데, 엄지손가락이 가리키는 방향이 바로 표면에 대한 법 선 벡터의 방향이다.

 

 

3. 스토크스 정리(Stoke's Theorem)                                                                     

스토크스의 정리는 벡터장의 어떤 열려있는 S 표면을 따라 적분한 값이 그 벡터에 대해서 S 표면 안의 어떤 닫힌 곡선을 따라 적분한  값과 같다는 정리이다. 이 정리는 수학적인 정의이므로, 유도과정에 대해 알고 싶다면  회전의 정의에 따라서 직접 계산해보고 증명하기를 바란다. 

 

스토크스의 정리

 

 

* 다음 강의는 입니다.