[Section 3] 스칼라 함수(Scalar function)

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산의 고도, 온도 분포 등과 같은 시간에 의존하지 않는 함수들은 공간상의 좌표로만으로 분석하는 것이 가능하다. 이러한 함수를 스칼라 함수라고 한다. 3차원 상에서는 x, y, z 3개의 좌표로 이러한 함수를 기술할 수 있을 것이다.

1. 3개 이하의 변수를 갖는 스칼라 함수

우리는 학창 시절에 2차원 좌표에서 하나의 변수로 크기가 일정한 상수 함수에 대해서 공부한 바가 있다. 3차원 상의 직교 좌표계에서도 하나의 변수만을 가지는 스칼라 함수가 존재한다.

 

예를 들어, 다음과 같은 무한한 평면의 스칼라 함수는 단 하나의 좌표로 표기 가능하다.

 

특수한 스칼라 함수

 

하지만 이 경우는 특수한 상황을 가정했을 뿐, 일반적인 스칼라 함수는 3개의 변수를 모두 필요로 한다. 

 

일반적으로 스칼라 함수는 다음과 같이 세 좌표 성분을 모두 갖는다.

 

스칼라 함수 예시

2. 스칼라 함수의 장점

세 좌표 성분을 모두 기술하는 스칼라 함수의 경우 하나하나 좌표점을 가지고 계산하여 기술하는 것은 엄청난 시간을 필요로 하게 된다. 만약 우리가 특수한 상황을 가정하면, 다음과 같이 간단히 하나의 벡터로 스칼라 함수를 표기하는 것이 가능하다. 

 

법선 벡터의 정의

 

이처럼, 어떤 스칼라 함수에 해당하는 표면위의 점과 수직인 벡터를 법선 벡터(Normal Vector)라고 한다. 

 

그리고 스칼라 함수가 시간에 따라 동일한 분포를 가지고 퍼지는 경우, 법선 벡터는 아주 유용하다.

 

법선 벡터의 장점

 

이렇게 단 하나의 방향으로 시간에 따른 스칼라 함수의 변화를 설명하는 것이 가능하다.

 

 

* 다음 강의는 스칼라 함수의 발산입니다.

[Section 3] 스칼라 함수의 발산(Gradient)