[Section 1] 2차원상의 점과 선 벡터

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[Intro] 기하학 미리보기

INTRO

현대의 기하학은 유클리드 기하학과는 다른 선형대수학에서 말하는 벡터를 기반으로 기하학을 구성했다. 점과 선의 벡터에 대해서 먼저 알아보고, 벡터 공간에서 점과 선을 만들어보자.

벡터 공간과 점

기하학에서는 실수 집합을 R로 표기하고, 그 집합의 원소를 실수 평면에서 두 원소의 쌍을 다음과 같이 점 벡터라고 칭한다. 

 

 

기하학에서는 점을 벡터로 정의하고, 실수 집합의 원소는 스칼라가 된다. 이제 2차원 평면에서 점 벡터의 덧셈 연산을 알아보자. 점 벡터의 연산은 선형 조합 연산을 기본 원칙으로 한다. 덧셈과 상수 곱의 경우 다음과 같은 선형 조합으로 나타낼 수 있다.

 

점 벡터의 연산

 

흔히 영점으로 불리는 영 벡터는 좌표로 0만을 가지는 점 벡터를 의미한다. 

 

* 두 점 벡터의 선형 조합식에는 그 식을 만족하는 두 경우가 존재한다. 먼저, 두 점 벡터가 모두 0이 되어 선형 종속(linearly independent)이 되거나, 식을 만족시키는 변수가 있는 선형 독립(linearly dependent)의 두 경우이다.

점이 모여 만들어지는 선 벡터

선형 함수(linear function)라고도 불리는 이 선 벡터의 표현은 다음과 같은 선형 조합으로 나타낸다. 

 

"ax+by+c"

 

상수 a,b는 0이 아닌 임의의 상수가 될 수 있으며, c는 0을 포함하는 임의의 상수이다. 그리고  x와 y는 점 벡터의 좌표를 의미한다. 이는 선이 점의 모임으로 정의되기 때문인데, 2차원 평면에서는 선 벡터를 기호 L(x, y)로 나타낸다.

 

선 벡터의 정의

두 점을 잇는 직선의 방정식

떨어진 두 점을 잇는 직선의 방정식은 항상 고유한 방정식을 갖는다. 두 점이 만드는 직선의 방정식을 미지수 a, b, c로 두고 다음과 같은 선형 조합으로 구해보자.

 

두 점이 만드는 직선의 방정식

 

 

* 다음 강의는 직선들의 관계와 선형방정식입니다.

[Section 1] 직선들의 관계와 선형 방정식