[Section 1] 점과 직선 사이의 거리

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[Intro] 기하학 미리보기

INTRO

점과 직선 사이의 거리는 직선의 방정식을 이용해서 구해야 한다. 어떠한 점 벡터가 좌표 형태로 주어졌을 때, 점과 직선의 거리를 구하는 공식에 대해 알아보자. 

점과 직선을 잇는 최단 거리 직선

어떤 점 벡터 P와 직선 L이 존재한다고 가정하자. 직선 L의 방정식 형태로 주어졌을 때, 직선 L위의 임의의 한 점이 무수히 많이 존재할 것이다. 임의의 한 점 중 P와 최단 거리 d를 만드는 한 점을 Q라 하자. 

 

점과 직선사이의 최단 거리 문제

 

점 P와 Q를 잇는 새로운 직선을 생각해보자. 이 직선은 직선 L과 수직 하다는 특징을 갖는다. 이 성질을 이용하면 최단 거리 d에 대한 공식은 다음과 같다.

 

최단 거리 공식

 

두 번째 공식은 어떻게 나왔을까?

이를 알기 위해서는 직선의 매개변수화(parametrized)가 무엇인지 알아야 한다.

하나의 매개 변수를 가지는 직선

직선의 매개변수화는 두 점을 이용하여 직선의 방정식을 하나의 매개 변수로 기술하는 방법이다. 간단하지만, 매우 중요한 개념이므로 꼭 알아두자. 먼저 어떤 직선 L이 주어지고, 그 위의 두 점을 P와 Q라고 가정하자. 두 점의 좌표값을 이용하면, 직선의 변수를 하나의 매개변수 t로 기술하는 것이 가능해진다.

 

직선 방정식의 매개 변수화

 

위와 같이 직선 위의 어떠한 점도 t라는 매개변수로 서술할 수 있고 이점은 기하학에서 아주 유용한 측면을 가지고 있다. 예를 들어 두 점 사이의 중점을 알고 싶을 때, t=1/2로 두고 직선의 방정식에 대입해보자. P와 Q 사이의 중점을 알 수 있다. 

 

매개 화가 어떤 의미인지 충분히 이해되었다면, 이제 점과 직선 사이의 거리 공식을 유도할 수 있다.

점과 직선 사이의 거리 공식 유도과정

처음으로 돌아와서 어떻게 거리 공식이 나왔는지 그 과정에 대해 알아보자. 점 P에 대한 좌표가 주어지고, Q 좌표를 모른다고 하자.

 

먼저, 직선의 방정식을 이용하면, 점 Q좌표에서 수직 한 방향벡터가 (a, b)가 된다는 사실을 알 수 있다. 그리고 이 수직 한 벡터와 수직 한 (-b, a) 벡터가 직선 L과 평행한 방향을 의미하는 벡터 좌표이다. 서로 수직 한 두 벡터를 내적 하면 0이 된다는 사실을 이용하여, 직선의 방정식 L을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

직선의 방정식 유도 과정

 

이제 주어진 직선 방정식 L과 두 점 LP와 LQ를 이용하여 점 Q를 매개변수화 하여 나타내 보자. 직선 위의 임의의 점 LP에서 LQ까지의 직선과 Parallel 벡터를 이용하면, 다음과 같이 매개 변수화 된다.  

 

최단 거리 공식 유도 과정

 

변수 t에 대해 미분한 결과를 f'(t)이라고 두자.

 

변수 t에 대해 무관한 항들은 모두 사라지므로 다음과 같이 f'(t)와 Q'(t)를 계산할 수 있다. 

 

최단 거리 공식 유도 과정

 

이 미분 값 f'(t)가 0이 되어야 최단 거리 조건이 성립한다. 한편, 점 Q는 Norm 벡터에 대해서 기술할 수 있는데, 이를 만족하는 어떤 상수 s에 대해서 다음과 같이 식을 전개하면 s와 Norm 벡터의 관계를 알 수 있다.

 

최단 거리 공식 유도 과정

 

마지막으로 상수 s를 정리하고 f(t) 함수를 이용하면, 점과 직선 사이의 거리가 다음과 같이 유도된다.

 

최단 거리 공식 유도 과정