[Section 1] 베이즈의 정리

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INTRO

베이즈의 정리는 확률론에서 기본이 되는 개념이다. 사실 이전에 배운 조건부 확률 또한 베이즈 정리 중 하나의 개념이다. 이번에는 베이즈의 정리와 법칙을 배워보고, 전체적 확률 관점에서 부분 확률의 관계들을 명확히 파헤쳐 보도록 하자.

베이즈 정리 _ 부분 집합의 특징

부분집합의 특징 중에서 분리와 포괄적 특성은 확률의 사건 집합에 대응될 수 있는 개념이다.

먼저, 부분 집합의 두 특징을  살펴보도록 하자.

 

분리와 포괄

 

확률론의 표본 공간은 분리 성질을 잘 갖추고 있다. 그리고 표본 공간 전체를 관점으로 봤을 때, 표본 점들이 서로 포괄적임은 자명한 사실이다. 이 두 공리를 바탕으로 다음의 전체 확률의 법칙을 이해하자. 

 

전체 확률의 법칙

베이즈의 공식

만약 표본 공간에 대한 어떤 두 사건이 서로 포괄적인지 아닌지 모른다면 어떨까? 그렇다면 전체 확률의 법칙에 따라 식을 전개하면 된다. 이것이 베이즈의 공식(The Bayes' formula) 혹은 규칙이다. 베이즈 공식을 이해하기에 앞서 다음의 곱셈 공식을 먼저 이해해보자. 

 

곱셈 공식의 의미

 

곱셈 공식의 첫 번째는 두 사건의 중복된 확률을 단순한 곱으로 나타낼 수 있다는 것과 동일한 의미이다. 즉, 두 사건 A, B는 서로 독립적이고 포괄적인 사건이다. 그리고 이번에는 두 번째 곱셈 공식을 자세히 보자. 두 사건이 중복하여 나타날 확률은 조건부 확률 P(A|B)이 확률 변수 P(A)를 대신한다. 다시 말해서, 두 사건 A, B는 포괄적이지 않을 수 있음을 의미한다.

 

결론적으로 베이즈의 공식은 전체 확률의 법칙에 따라 전개한 둘 이상의 사건들에 대한 확률 관계이다.

다음의 식 전개를 참고하자. 

 

베이즈 법칙

 

 

* 다음 강의는 사건의 독립성과 조합 공간입니다.

[Section 1] 사건의 독립성과 조합 공간