[Section 1] 전기적 에너지(Energy)

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[INTRO] 전자기공학 미리보기

0. INTRO

축전기를 통해서 전하가 쌓이는 데는 전압이라는 포텐셜이 필요하다는 것을 배웠다. 이 말은 이렇게 전하를 움직이는 데에는 힘이 필요하고 그 포텐셜이 바로 전압이라는 것이다. 축전기의 경우처럼, 전하가 한 곳으로 모이면, 에너지가 저장되는 것과 의미가 상통한다. 그렇다면, 에너지의 양을 어떻게 정의할까? 

1. 전하를 움직이는데 필요한 일

에너지를 기술하기 위해서, 가장 먼저 하나의 전하를 움직이는데 드는 일을 계산해보자. 

다음과 같이 아무것도 없는 공간에서 점 전하 Q를 놓는데 드는 일은 0이다. (등속도로 천천히 움직였다고 가정한다.)

 

점 전하를 움직이는데 드는 일

 

그렇다면, 두 번째 전하를 Q2를 무한한 거리에서부터 천천히(가속 없이) Q 옆으로 둔다고 가정하자. 이전에 정의했던 포텐셜에 따라, Q2를 Q옆에 이동하는데 드는 일은 다음과 같다.

 

일의양 계산

 

이때 전하1과 전하2의 떨어진 거리는 d12이다. 한편, 위와 같은 셈은 Q1을 Q2의 옆으로 이동시키는데 필요한 일과 동일하다. 따라서 다음과 같이 일의 양을 정의할 수 도 있다.

 

일의양

 

추가로 3번째 전하를 또 옆에 둔다고 가정하자. 세 번째부터는 일의 계산이 복잡해진다. 왜냐하면 기존의 전하 1과 전하 2를 모두 고려해야 하기 때문이다. 

 

세 번째 전하를 옮기는데 드는 일

 

이때 전하 1과 전하 3의 거리는 d13, 전하 2와 전하 3의 떨어진 거리는 d23이다. 

 

위의 일은 두번째 전하를 옮기는데 필요한 일과 합하여 아무것도 없는 공간에  세 개의 전하를 옮기는데 드는 총 일로 나타낼 수 있다. 이를 정리하면 다음과 같다.

 

세 개의 전하를 옮기드는 드는 총 일의양

 

이런 식으로 점 전하의 개수가 늘어날 때마다 필요한 일을 다음과 같이 일반화할 수 있다. 

 

전하를 옮기는데 드는 총 일의양

 

일의 단위는 줄(joule, J)이며, 가끔 eV라는 단위도 볼 수 있는데, 이는 electron-volt의 약자로 전자 하나를 움직이는데 드는 일의 양으로 정의된다. 

1 eV = 1.60 x 10^-19 (J)

2. 필요한 일의 적분 형태

위에서 정의한 일의 양을 적분 형태로 고려할 수 있는데, 이는 다음과 같이 바꾸어줄 수 있다.

 

 일의양 적분형태

3. 에너지의 의미

일의 양을 적분 형태로 바꾸어주고 나면, 우리는 에너지의 의미를 보다 자세히 이해할 수 있다. 다음의 식 전개를 이해하고 에너지의 의미를 보다 자세히 이해해보자.

일의 적분 형태에서 전하량의 부피 요소는 다음과 같이 바꾸어 줄 수 있다. 그리고 대체 전기장 D와 스칼라 V의 곱은 발산 형태 이므로, 벡터 연산 법칙을 통해 오른쪽과 같이 바꾸어 줄 수 있다.

 

일의양 변환 과정과 사용된 연산 법칙

 

다음으로 발산 정리를 이용하여 좌측항의 부피요소를 면적요소로 바꾸어준다. 이때 발산정리는 모든 전하를 포함하는 어떠한 부피에 대해서도 변환이 가능하다. 

 

발산 정리를 이용한 식 변환

 

만약 우리가 발산 정리를 부피의 크기를 무한히 큰 값으로 적용했다면, 첫번째 항을 생략할 수 있다. 그리고 남은 일의 양은 다음과 같은 간단한 형태로 나타난다.

 

전하를 옮기는데 드는 일의 총량식

 

* 다음 강의는 대류 전류와 전도전류입니다.

[Section 2] 대류 전류와 전도전류