[Section 1] 평면파

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[Intro] 광학 미리보기

INTRO

물결파와 같은 현실의 파동은 대체로 3차원 파동이다. 3차원 파동은 x, y, z 축의 위치정보를 시간에 따라 표현해야 할 것이다. 이러한 복잡한 파동식을 간단하게 전개해줄 수 있는 평면파에 대해서 알아보도록 하자. 

3차원 공간의 파동 함수

평면파의 의미

 전파 상수(Propagation Constant)는 항상 일정한 상수값을 나타낸다. 파동이 전파함에 따라서 항상 변하지 않는 위상이 있다면 무엇일까? 다음과 같은 3차원 좌표계에서 k방향으로 전파해나가는 파동을 상상해보자.

 

K방향으로 전개해나가는 평면파

 

위 그림처럼, 전파 상수 k는 파동의 진행방향을 나타낸다. 그리고 벡터를 지나는 파동의 면은 파동의 위치로 볼 수 있고, 그 파면과 k벡터는 항상 수직을 이룬다. 즉, 변하지 않는 위상의 파면(Wavefront)을 평면으로 간단하게 나타낸 파동을 평면파(Plane wave)라 부른다.  

전파 상수라 불리는 이유

먼저, 평면파를 지나는 벡터, r₀와 평면 위의 한 점을 향하는 r 벡터를 고려한다.

두 벡터의 차는 다음 그림과 같은 K벡터와 수직 한 벡터를 나타낸다.

 

평면파의 방향

 

따라서 k 벡터와 그것의 수직 한 벡터의 내적은 0이므로 다음의 식이 성립한다.

 

평면파와 위치벡터

 

평면파의 진행방향을 나타내는 k벡터와 위치 벡터를 나타내는 r벡터는 서로 수직 하므로 두 상수의 내적은 상수임을 위와 같이 증명할 수 있다.

평면파(Plane wave) 

평면파의 위치에 관한 위상 정보는 k벡터와 r벡터를 이용하여 나타낸다는 것을 알았다.

 

다음은 평면파를 이용해 파동 방정식을 기술하는 방법을 알아보자.

위치 정보만을 이용하여 평면파를 기술하면 다음과 같은 식을 얻는다.

 

위치정보만을 포함하는 평면파

 

이 위치정보만을 포함하는 파동식에 파동의 움직임을 표현해주기 위해서 시간 위상을 추가해야 한다.

즉, 시간 위상인 각 진동수와 시간이 파동의 움직임을 나타낸다. 

 

* 각 진동수와 전파 상수 둘 다 상수 이므로, 시간 변수를 대입함으로써 그 시간 변수에 정지한 파동의 상황을 알 수 있다.

 

시간 정보가 포함된 평면파

 

 

 

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