[Section 2] 서수의 개념

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0. INTRO

집합론의 '기수가 같다면 셀 수 있고, 자연수 하위 집합의 기수가 자연수 집합의 기수와 같다'는 결론은 언뜻 보면 괴기하기 까지 보인다. 예를 들어, 정수 집합 N의 기수와 2N의 기수가 같다면, 2N의 기수는 4N과 같으며, 이는 N의 제곱 형태까지 무한하게 뻗어나간다. 이러한 집합 체계의 명확한 설명을 위해서는 순서를 정의하는 개념이 새로이 필요하다. 집합 체계에서 순서의 의미가 부여되고 이를 이해함에 따라 우리는 무한히 뻗어나가는 수의 체계를 정립할 수 있다.  

1. 순서론의 탄생

기수가 같은 두 집합은 전단사 함수관계를 갖는다. 그렇다면, 순서는 어떻게 정의해야 할까? 서수는 주어진 정렬된 집합 x와 동형인 모든 집합들과 공통인 집합 |x|가 어떤 순서 기준에 따라서 잘 정렬된 집합을 서수라고 정의한다. 이 정렬 집합이 가지는 원소들은 순서로써의 성질을 가진다. 예를 들어, 어떤 {1,3,5,7..}의 홀수 집합을 어떤 정렬 기준으로 정의된 정렬 집합과 일대일 대응하여 홀수 집합에 각각의 번호(원소)를 매칭 시키는 개념이다. 따라서 집합과 집합의 관계를 통해서 어떤 집합을 정렬시키는 것이 서수 개념의 핵심이다.  

A. 순서 집합(ordered set)의 정의

어떤 집합 x의 정렬(well-ordering) 관계가 정의되면, 그 관계 집합을 정렬된 집합(ordered set)이라고 부른다. 주어진 정렬 집합 x와 동형인 집합들은 모두 일대일 대응이 성립한다. 따라서 정렬 집합 x와 동형인 모든 집합들을 순서형(the order type), |x| 라는 공통적인 것으로 정의할 수 있는데, 어떤 순서 관계를 가지는 이 순서형 |x|는 서수가 된다.

 

어떤 관계집합이 정렬된 집합이라고 정의하는 것은 관계 집합 성질 4가지를 모두 만족하고, 정렬된 집합의 원소중 공집합이 아닌 어떠한 부분집합을 잡아도 항상 최소 원소를 가지는 집합을 정렬된 집합이라고 한다. 예를 들어, 어떤 서수 |x|의 정렬을 '<'으로 정의했다고 하자. 이전에 배운 관계 집합 성질 중 동일성과 반사성, 추이성, 그리고 연결성이 있었다. '<' 정렬은 4가지 관계 집합 성질을 모두 가지면 정렬화(orderings)이고, 만약 연결성을 버리면 부분 정렬(partial orderings)이 된다. 유한한 수열(sequence)을 다음과 같이 '<'으로 정렬화(well-ordering) 할 수 있다. 

 

유한한 수열의 정렬화

 

이렇게 정렬된 수열의 원소들을 집합으로하는 공집합이 아닌 모든 하위 집합들은 공통적으로 최소의 원소를 정렬화의 관점에서 가지게 된다. 이것은 정렬화 가능한 관계 집합의 성질에서 연결성을 버림으로써 얻어질 수 있으며, 가장 최소의 원소만을 집합으로 하게 되면 서수 |x|는 부분 정렬화(partial well-orderings)가 가능하다고 한다.

 

좀 더 구체적인 상황은 다음과 같다.

 

"모든 서수에 대해서, 서수들은 정렬화(well-ordering)가능하며, 순서 '>'를 다음과 같이 설정하여 정의 가능하다." 

 

 

위의 명제 '<' 는 그 자체로 |y|를 나타낸다. 왜냐하면, |y|가 항상 모든 '>' 관계를 가지는 서수의 하위 집합 중 가장 최소의 원소를 가지는 서수이기 때문이다. 이것이 엄밀한 순서 정리(well-ordering theorem)이고, 정렬 집합은 정렬화 가능한 서수를 의미한다. 

B. 숫자 모임(Number class)

어떤 집합이  공집합이 아닌 서수를 의미하고 그 집합을 A라고 할 때, 어떤 두 집합이 서로 일대일로 대응하고 A와 대응하는 모든 서수를 포함하면, 집합 A는 숫자 모임이라고 칭한다. 따라서, 이 숫자 모임은 어떤 집합의 기수로 결정된다. 이에 따라서, 숫자 모임은 다음과 같이 전개해나갈 수 있다.

 

1) 공집합은 숫자 0에 대응한다.

2) 하나의 원소를 가지는 집합들의 모임을 1에 대응 시킨다.

3) 두 개의 원소를 가지는...

...

 

이렇게 전개된 집합 {0,..., n-1}의 기수는 n이 된다. 이러한 방법은 임의의 자연수 집합의 원소들의 순서를 정의하는데 필요한 모든 관계 집합을 구성하는 것이 가능해진다. 이러한 서수들의 모임과 같이, 서수가 어떤 자연수와 일대일 대응이 존재하면, 유한 서수라고 정의한다.

 

C. 유한 서수(finite ordinal number), α와 계승(the successor), S(α)

유한 서수는 다음과 같은 특징을 가진다.

 

1) 공집합은 정렬화 가능하고, 추이 관계를 가지므로 서수이다.

2) α가 서수라고 할 때, S(α)=α ⋃ {α}인 계승 S(α) 또한 서수가 된다. 

 

S(α)를 계승이라 하고, 그 전의 서수 α를 전승(predecessor)이라고 한다. 서수 α는 정렬 기준에서 항상 마지막 원소가 되므로 계승과 전승의 사이에 해당하는 서수는 존재하지 않는다. 만약, 공집합을 제외한 서수 α의 전승이 존재하지 않으면 그 수를 극한 서수(limit numbers)라고 정의한다. 

 

유한 서수도 서수와 마찬가지로 공집합이 아닌 모든 집합은 항상 가장 작은 원소를 포함하는데, 이는 초한 귀납법(transfinite induction)의 정리에 따라서 서수 개념을 확장할 수 있다. 

2. 순서수 집합의 확장과 초한 귀납법

순서 정리 이론에 따라서, 서수로 구성된 집합 중 공집합이 아닌 집합은 항상 가장 작은 원소를 포함할 것이다. 이에 수학자들은 정렬된 집합 혹운 기수에 대해서도 귀납법으로 그 증명과정을 거쳐야 된다고 생각했고, 초한 귀납법(transfinite induction)이라는 증명 방법을 정렬 집합에 적용했다.

A. 자연수 집합에 대한 초한 귀납법

만약 어떤 집합 a에 대해 정렬화 가능한 서수 ω가 존재한다면 , 다음의 조건 (1), (2)를 만족함에 따라서 집합 a에 포함된 모든 x에 대해서도 순서 정리가 따른다는 것이 증명된다.

* ω는 상대적 무한(relative infinite)을 의미하는 기호이다. 

 

(1) 먼저 어떤 식 H는 집합 a의 가장 작은 원소 ω에 대해서도 적용됨을 보인다. (정렬화 가능)

(2) 만약 식 H가 모든 x에 대해 a집합에 포함되는 y라는 원소보다 더 작은 원소 ω에서 적용됨을 보이면, H는 y에 대해서도 적용된다. (추이성)

 

B. 이율배반(Antinomies)의 역설

순수 집합론에서는 멱급수와 관련된 역설이 있다. 바로 어떤 집합에 대한 기수 보다도 항상 멱급수의 기수가 크다는 사실이다. 반면, 유한한 집합인 자연수 집합 체제에서 멱급수는 2^N이며, 모든 자연수 집합의 하위 집합들로 이루어진 전체 집합(universal set), A를 도입함에 따라서, A집합의 기수는 A집합의 멱급수 보다 작아야 한다는 조건이 생긴다. 하지만, A집합의 모든 하위 집합관계이므로 '2^N ≤A의 기수' 관계가 성립해야 하는데, 이는 앞의 전개와 모순을 일으킨다. 

 

서수에 의해서 발생하는 역설 또한 존재한다. 

C. 집합론의 공리화(Axiomatic)

집합론과 관계된 역설은 임의의(arbitrary) 속성에서 기인한 것으로 보인다. 따라서 수학자들은 객체들을 x, y, z.. 라 불리는 모임(classes)으로 간주하고, x ∈ y를 '모임 x는 모임 y의 요소이다.'라고 읽었다. 이는 모임과 요소 간의 공식적 차이를 두지 않는 것으로 정의하였다. 어떤 모임들은 집합으로 불렀는데, 이 집합들은 적어도 한 모임의 요소들로 간주했다.

 

 

 

 

 

* 다음강의는 칸토어의 대각선 증명과 러셀의 역설입니다.

[Section 2] 칸토어의 대각선 증명과 러셀의 역설