[Section 1] 논리 상수를 통해서 나타내는 수학 증명

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[INTRO] 대수학 미리보기

0. INTRO

논리학의 자연 연역 방법으로 수학적 증명과정이 진행된다는 것을 알았다. 수학적 증명은 이렇게 논리학을 바탕으로 구성되어있으며, 그 절차를 논리 상수로 나타냄으로써 증명이 완성된다. 수학의 증명절차를 이해함과 동시에 우리는 수의 완전성과 왜 물리학 혹은 그와 유사한 과학이 수학을 통해서 이론적 제시를 하는지 그 이유를 알 수 있게 될 것이다.  

1. 논리 상수의 도입과 제거

A. 논리 상수 ^와 ∨ 

A 명제와 B 명제가 있다는 가정하에 결론을 증명하는 과정을 기호로 표시해보자. 공리는 A, B가 참이라고 하자.

도입과 제거 규칙으로 결론되는 증명 상황은 무엇인가? 

(1) A는 참, B는 참으로부터 A이고 B가 참이라는 결론을 얻는다.

(2) A이고 B가 참이라는 사실로부터 A는 참이라는 결과를 얻는다.

(3) A이고 B가 참이라는 사실로부터 B는 참이라는 결과를 얻는다. 

 

이를 기호로 나타내면 다음과 같다.

 

논리상수, ^의 도입과 제거

 

그렇다면,  논리상수 ∨ 의 도입과 제거 규칙으로 결론되는 증명 상황은 무엇인가? 

(1) A가 참이라는 사실로부터, A이거나 B가 참이라는 결론을 얻는다.

(2) B가 참이라는 사실로부터, A이거나 B가 참이라는 결론을 얻는다.

(3) A이거나 B가 참이라는 사실로부터 거짓이거나 참이다 라는 결론 C를 얻는다. 

 

이를 기호로 나타내면 다음과 같다. 

 

논리상수, ∨의 도입과 제거

 

 

* 논리 상수 ^와 ∨ 를 통해서 한 가지 재미있는 사실을 발견할 수 있다. 이 추론으로는 하나의 명제가 참인 공리로부터 연관성이 없는 다른 명제가 참인지 거짓인지 알 수 없다는 사실이다. 단지, 참이거나 거짓 둘 중에 하나라는 사실만 알 수 있을 뿐이고, 만약에 어떤 문제가 연관성이 없는 두 명제 중 하나만 사실이라고 할 때, 다른 명제는 참인가 거짓인가?라고 할 때, 우리는 모른다는 결론을 얻는다.

반면, 수학적인 공식의 관점에서는 두 식 모두 같은 결과를 가져오니, 두 명제가 각각 결론으로 귀결 될 수 있다.

 

B. 논리상수 ⟷와 ⟶

똑같이 A 명제와 B 명제가 있다는 가정하에 결론을 증명하는 과정을 기호로 표시해보자. 

논리 상수 ⟷ 도입과 제거 규칙으로 결론되는 증명 상황은 무엇인가? 

(1) A이면 B이고, B이면 A라는 결과로부터, A와 B는 항등식이라는 결론이 증명되었다.

(2) A와 B가 항등식이라는 것으로부터, A이면 B라는 결론이 증명되었다.

(3) A와 B가 항등식이라는 것으로부터, B이면 A라는 결론이 증명되었다.

 

이를 기호로 나타내면 다음과 같다.

 

논리상수, ⟷의 도입과 제거

 

그렇다면,  논리상수 ⟶ 의 도입과 제거 규칙으로 결론되는 증명 상황은 무엇인가? 

(1) A로부터, B이면 A라는 결론을 알 수 있다.  (반대 동일)

(2) A이면 B일 때, A라는 명제로부터 B가 결론된다는 사실을 알 수 있다. (반대 동일)

 

이를 기호로 나타내면 다음과 같다.

 

논리상수, ⟶  의 도입과 제거

 

 

* 수학적 증명에서 논리 상수 ⟷ 와 ⟶의 증명 과정에서 명시해야 할 사실은 각각의 공식들이 독립적이라는 사실이다. 이 사실을 통해서 위의 논리 상수를 통해서 우리는 공식들 간의 관계를 정의한다. 즉, 함의 과정의 도입 부분은 이전의 관계성을 통해서 증명된 사실의 도입이 가능하다는 의미를 갖는다. 

C. 논리 상수

어떤 식 A와 B 가 있다는 가정하에 결론을 증명하는 과정을 기호로 표시해보자. 

논리 상수 ¬ 도입과 제거 규칙으로 결론되는 증명 상황은 무엇인가? 

(1) A이면, B이다. A이면, B가 아니다는 사실로부터, A가 아니라는 결과가 도출되었다. 

(2) A와 A가 아니라는 사실로부터 B라는 결과가 도출되었다.

 

논리 상수  ¬  도입과 제거 규칙

 

 

* 논리 상수 ¬는 조금 이해하기 힘든데, 수학의 식 관점에서 생각하면 한 결 이해가 쉽다. 어떤 식 A에서 B가 되고 B가 안 되는 것은 식 A가 성립되지 않는다는 것과 같은 말이고, 어떤 식 A가 성립하기도 하고 성립되지 않기도 하는 것은 B밖에 없다. 이 가정된 공리계 A와 B에서는 부정된 식의 반대되는 식의 결론이 나왔지만, 다른 유한한 공리계에서는 하나의 식으로 특정지 어지지 않을 것이다.   

D. 논리 상수 ⋁와 ⋀

똑같이 A와 B 식이 있다는 가정하에 결론을 증명하는 과정을 기호로 표시해보자. 

논리 상수 ⋁ 도입과 제거 규칙으로 결론되는 증명 상황은 무엇인가? 

(1) A로 부터 어떤 x가 존재하는 식 B가 귀결됨을 보였다.

(2) 어떤 x가 존재하는 식 A로부터 식 B가 귀결됨을 보였다.

 

이를 기호로 나타내면 다음과 같다.

 

논리 상수, ⋁ 도입과 제거 규칙

 

그렇다면,  논리상수 ⋀의 도입과 제거 규칙으로 결론되는 증명 상황은 무엇인가? 

(1) A로 부터 모든 x에서 식 B가 귀결됨을 보였다.

(2) 모든 x에서 식 A로부터 식 B가 귀결됨을 보였다.

 

이를 기호로 나타내면 다음과 같다.

 

논리상수,  ⋀ 의 도입과 제거 규칙

 

* 플래그 변수(Flagged variable)

플래그 변수란, 두 식의 변수가 같은 값을 지칭하는 상황에서 발생하는 혼란을 막기 위해 지칭하는 변수의 다른 이름이다. 예를 들어, 서로 다른 직선의 방정식 A와 B가 같은 점을 공유할 때, 두 식의 연결성에서 발생하는 변수의 이름을 플래그 변수라고 한다. 증명과정에 있어 A 식에서 B 식으로 넘어감에 있어, 설사 같은 변수 x를 지칭하였더라고 하더라도, A에서의 x와 B에서의 x는 서로 다른 변수이다. 그렇지 않으면, 공리계에서의 독립적 성질이 무너진다. 

2. 수학 증명 시스템

A. 줄 번호와 추론, 그리고 귀결식의 명시

일반적으로 증명 과정을 명시하는 것은 줄 번호와 사용된 추론 방법 그리고 귀결식으로 나누어진다. 하지만, 추론 방법 중 보편 양화사, ⋀ 혹은 존재양화사, ⋁ 의 추론이 사용된 경우 플래그 변수 또한 명시해 주어야 한다. 이러한 수학적 증명 시스템은 추정 도입과 제거를 통해서 임의의 초기 가정식은 증명을 통해서 공리계를 형성하고 이는 또 다른 증명 식의 주장 명제가 된다.

B. 배중률(tertium non datur) 법칙

배중률의 법칙은 다른 말로 제3의 명제 가능성을 배제한다는 법칙이다. 예를 들어 어떤 명제 A가 있다면, 명제 A는 참이거나 거짓 둘 중 하나에 반드시 속한다는 뜻이다. 이 배중률의 법칙은 직관주의(intuitionism)에서는 맞지 않는 현상이 발생하는데, 이러한 직관주의 사고는 실제 세계와 수학적 논리 체계가 반드시 일치하는 것은 아니라는 주장이다.  따라서 우리가 수학적 증명 시스템에 있어서 직관 주의적 사고를 하느냐, 배중률 법칙을 따르는 사고를 하느냐에 따라서 어떤 공리계가 분리될 수 있겠다.