[Section 2] 집합 정리(Theory of Sets)

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0. INTRO

집합 정리 체제는 그 자체로 직관적이고 잘 정리되어있는 이론이다.  무한 집합에 대한 연구로 유명한 독일의 수학자 게오르크 페르디난트 루트비히 필리프 칸토어(Cantor)는 집합을 이렇게 정의했다. "집합은 어떠한 모임(assemblage)이며, 이 하나의 모임 개체를 M으로 간주하고, 확정적이고 개별적인 우리의 생각 또는 인지 대상들인 m을 갖는다." 이러한 개념의 집합 이론은 이율배반(antinomies)이라고 불리는 모순된 관계를 갖게 되는데, 칸토어는 이 관계를 이렇게 이야기한다. "현실은 시간적으로 공간적으로 한정되어있다.", "현실은 시간적으로 공간적으로 무한한 연속체이다." 두 명제는 동등한 근거가 성립하면서 양립할 수 없는 모순성을 지닌다. 이 연속체에 대한 모순성은 이후 체르멜로-플렝켈 집합론 체계(ZF 공리계)에서 반증과 증명이 불가능하여 서로 독립적인 명제라는 것이 증명되었다고 한다. 

1. 순수 집합 정리( Naive or intuitive theory of sets)

집합의 정의에 따라서 우리는어떤 집합 체제를 원소를 숫자나 문자의 형식으로 대체하여 명시하는 것이 가능하다. 그렇다면, a, b, c,..., z의 알파벳 원소를 갖는 E라는 집합을 생각해보자. 원소들이 E안에 포함되어있다는 사실을 우리는 기호 ∈로 표시한다.  반대로 포함되어있지 않는 것은 기호 ∉로 표시한다. 그렇다면, 어떤 집합 E가 또 다른 집합 E'의 원소가 되는 것이 가능할까? 집합의 정의를 생각해볼 때, 우리는 그것이 가능하다는 것을 직관적으로 알 수 있다. 따라서, 하위 집합, 상위 집합, 그리고 같은 집합 또한 명시하는 것이 가능하며, 이것을 확장성의 원리(the principle of extensionality)라고 한다.

A. 같은 집합 (Equal Sets)

순수 집합 정리 체제에서 E'의 모든 원소와 E의 모든 원소가 같은 경우 서로 같은 집합이라고 부른다. 예를 들어서, "모든 x에 대해서 x가 E집합에 포함되고 E'집합에도 포함되는 것이 서로 같다면, A와 B는 같다"라는 명제를 다음과 같은 간단한 기호로 나타내 낼 수 있다. 

 

서로 같은 집합 E와 E'

B. 공집합 (Empty Sets)

그렇다면 원소가 없는 집합은 어떻게 나타내는가? 집합 E=0일 때, 우리는 이것을 공집합이라고 하고 원소가 없는 집합으로 정의 내린다. 숫자 0과 공집합의 기호 0은 혼란을 불러일으킬 수 있으므로, 일반적으로 공집합은 0이 아닌 Ø기호로 표기한다. 집합 이론에서 모든 집합에는 이 공집합이 포함된다는 점에서 공집합을 단위 집합이라고 할 수 있겠다.

C. 하위 집합(Subset)

A라는 집합과 B라는 집합이 있다고 가정하자. B집합이 A 집합에 포함되어 있는 경우, 기호 A⊆B라고 표기하여 그 의미를 나타낸다. 

 

만약, A⊂B이고 A≠B 인경우라면, 기호 A⊂B로 표기한다. 그리고 이 관계를 B에 대한 적절한 하위 집합(Proper Subset), A라고 말한다. 예를 들어, A는 {Ø}, {0},{1} 이고 B는 {Ø}, {0} 일 때, B를 A의 적절한 하위 집합이라고 한다.  다음의 명제를 기호로 나타내 보자.

 

"모든 x에 대해서; x 가 A에 포함하는 것과 x가 B에 포함되는 것이 항등 관계이면, A는 B와 같다."

 

집합의 항등 조건

2. 집합의 관계

집합의 관계를 비교하는 데에 자주 사용되는 벤 다이어그램은 집합과의 관계를 설명하는데 아주 유용하다. 다음의 벤 다이어 그램을 참고하여 집합들의 관계를 비교하고 기호로 나타내 보자. 

 

집합의 관계를 나타내는 벤다이어그램

A. 합집합(union)

합집합은 벤 다이어 그램의 a에 해당하는 경우로, 기호 ∪로 나타낸다. A와 B의 합집합을 C라는 새로운 집합으로 정의함으로써 다음의 명제는 참이 된다. 

 

"모든 x에 대하여; x가 C에 포함되는 것은 x가 A에 포함되거나 x가 B에 포함된다는 것과 항등식이다. "

 

위 명제는 기호로 간단히 다음과 같이 표시할 수 있다.

 

합집합, C의 항등조건

 

B. 교집합(intersection)

교집합은 벤다이어 그램의 b에 해당하는 경우로, 기호 ∩로 나타낸다. A와 B의 교집합을 C라는 새로운 집합으로 정의함으로써 다음의 명제는 참이 된다.

 

"모든 x에 대하여; x가 C에 포함되는 것은 x가 A에 포함되고 x가 B에 포함된다는 것과 항등식이다. "

 

위 명제는 기호로 간단히 다음과 같이 표시할 수 있다.

 

교집합, C의 항등조건

C. 집합의 분리(disjoint)

분리 관계는 벤다이어벤 다이어 그램의 c에 해당하는 경우이다. 이는 A와 B의 교집합 부분이 공집합이라는 것을 의미하는데,  앞에서 모든 집합의 기본단위를 공집합으로 간주한다는 점으로 보아 이러한 정의는 모순을 발생시킨다. 이 점에 대해서는 벤다이어그램의 c 부분을 다음과 같이 표현함으로써 피하기로 하자. 

 

집합 x와 그 여집합의 관계

 

* 이 모순에 대해서는 이후에 다시 다루기로 하자.

x를 A와 같은 집합으로 볼 때, A의 여집합(complement set)을 x의 원소가 아닌 모든 원소를 갖는 집합으로 정의한다. 

3. 멱집합(power set)

멱집합은 모든 하위 집합들을 원소로 하는 집합이다. 예를 들어, P가 멱집합을 의미하는 술어이고 집합 A와 B가 존재한다고 할 때, PA는 A의 모든 하위 집합을 원소로 갖고, PB 또한 B의 모든 하위 집합을 원소로 갖게 된다. 

 

"모든 x에 대하여; x가 PA에 포함되는 것과 x가 A에 적절히 포함되는 것과 합동이다."

 

집합 A와 A의 멱집합의 관계

 

이 A 집합과 멱집합의 관계를 위의 명제로 나타내었다. 

 

* 멱집합의 정의

멱집합은 x가 집합 A의 모든 원소를 지칭하는 변수이고, y는 x와 다른 일련의 원소들을 지칭할 때, 순서쌍(ordered pairs) <x, y>로 새로운 집합을 다음과 같이 정의할 수 있는데, 멱집합은 공집합부터 시작해서 변수 x, y,... 를 계속하여 자기 자신의 집합까지 원소로 가지는 집합을 말한다.   

 

순서쌍 <x,y>

4. 집합 관계를 통해서 증명되는 일련의 법칙들

집합 관계를 통해서 알 수 있는 간단한 증명들을 소개하고자 한다. 대수학에서 집합 정리는 다음의 법칙들을 만족한다.

A. 합집합과 교집합 법칙

합집합과 교집합은 그 관계를 나타냄에 있어 다음과 같은 일련의 규칙을 보인다.

 

(1) 교환 법칙(The commutative laws)

"A∩B=B∩A ,             A∪B = B∪A"

(2) 결합 법칙(The associative laws)

"A∩(B∩C)=(A∩B)∩C ,            A∪(B∪C)=(A∪B)∪C "

(3) 흡수 법칙(The absorption laws)

"A∩(B∪C)=A ,            A∪(A∩B)=A"

(4) 분배 법칙(The distributive laws)

"A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)"

"A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)"

 

B. 하위 집합 법칙

(1) 반사성 법칙(Law of reflexivity)

"A⊆A"

(2) 동일성 법칙(Law of identity)

"A⊆B ^ B⊆A⟶A=B"

(3) 전이성 법칙(Law of transitivity)

"A⊆B ^ B⊆C⟶A=C"

C. 하위 집합과 합집합 혹은 교집합의 혼합 법칙

(1)

"A⊆B ⟷A∩B=A ,          A⊆B ⟷A∪B=B"

(2)

"A⊆B∩C ⟷A⊆B ^A⊆C ,        A∪B⊆C ⟷A⊆C ^B⊆C "

 

 

* 다음 강의는 집합들의 관계입니다.

[Section 2] 집합들의 관계