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INTRO
장 르 롱 달랑베르(Jean Le Rond d’Alembert)는 프랑스의 수학자이자 물리학자이며, 또한 철학자 이기도 하다. 여러 분야에 업적을 세운 훌륭한 과학자로서, 1747년에 그는 파동 방정식과 그 해를 처음으로 언급한 논문을 출판했다고 한다.
일차원 파동 방정식( One-dimensional differential wave equation)
소리든, 빛이 든 간에 파동 방정식을 기술하기 위해 다음을 가정하자.
"파동의 매질은 물리적으로 손실이 없는 매질이다."
그렇다면 그 파동 방정식의 해는 시간과 공간으로만 기술하는 것이 가능하다. 이러한 방정식을 선형 미분 방정식(Linear differential equation)이라고 한다.
선형 미분 방정식은 두 개 이상의 항으로 이루어지는데, 위의 파동 방정식은 각각의 항이 파동 함수 또는 그의 미분과 상수곱으로 이루어져 있다. 여기서 중요한 점은 방정식의 미분 차수(the order)이다.
- 선형 미분 방정식 내에서 가장 큰 고차항의 차수가 바로 그 방정식의 차수이다.
- 선형 미분 방정식의 차수가 N 개로 이루어지면, 그 해는 N개의 상수를 포함해야 한다.
파동 방정식 유도 과정
먼저, 시간과 공간에만 의존하는 파동 함수를 가정한다.
그리고 x에 대해서 이 파동 함수를 편미분을 하게 되면, t를 상수로 취급할 수 있다.
시간에 대해서도 마찬가지로 x를 상수로 두고 편미분 하는 것이 가능하다. 그리고 시간과 무관한 일차원 파동 방정식 결과를 대입하자.
이후에는 동일한 과정을 반복하여 간단히 일차원 파동 방정식을 유도할 수 있다.
- 이 식이 의미하는 바는 파동 함수의 시간과 위치에 대한 변화율은 비례한다는 사실이다.
- 그 비례 상수는 속도이다.
* 다음 강의는 파동함수의 용어입니다.
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