[Section 1] 평면파(Plane wave)

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[INTRO] 전자기파동 미리보기

0. INTRO

전자기파동의 평면파 가정은 전기장 혹은 자기장의 진동을 같은 방향과 같은 크기 그리고 같은 위상을 갖는 것으로 가정하여 파를 해석하는 단순한 방법이다. 평면파를 설명하는 가장 대표적인 예는 어떤 아주 작은 광원을 점으로 보는 것이다. 광원으로부터 나온 동일한 위상의 파면은 구를 형성하는데, 아주 멀리서 이 파면의 일부는 평면처럼 보이게 된다. 이는 마치 우리가 지면을 평면으로 보는 것과 같다.

1. 헬름홀츠 방정식(Helmholtz's equation)

자유공간(free-space)에서 전기장에 대한 파동 방정식과 페이저 벡터는 다음과 같았다.

 

파동방정식과 페이저 개념

 

여기에 편미분을 적용하면 다음과 같은 식이 유도된다. 편의를 위해 페이저 개념의 전기장 벡터에 아래 첨자 P를 넣었다. 

 

파동방정식

 

이 식에서, 제곱항으로만 묶어보면 어떨까? 아마 누군가가 그 편이 더 식을 간결하게 표현할 것이라고 생각했을지 모른다.

그 값을 k라는 문자로 대체하고 표현해보기로 하면 k는 다음과 같은 의미를 갖게 되며, 식은 간단히 정리된다.

 

k의 정의와 헬름홀츠 방정식

 

이러한 파동 방정식을 헬름홀츠 방정식(Helmholtz's equation)이라고 부른다. 

 

* 전도체가 아닌 균질한 물질이라고 가정할 때, 이 물질을 지나는 전자기파의 파가 진행하는 속도는 V로 정의되었었다.

 

V와 K의 관계

2. 파수(wavenumber, k)

한편, 헬름홀츠 방정식에서 k는 파수를 의미한다. ω 가 각 진동수를 의미하기 때문에, 2πf(진동수) / V 가 파수이다. 결론적으로 파수는 진행한 단위 길이당 파동의 위상을 의미하는 것이다. 

 

파수의 의미

 

파수와 파동의 속도 관계를 통해서 또한 유추할 수 있는 바는 파수가 벡터라는 것이다. 파수는 양수와 음수를 둘 다 가지고 있는데, 양수는 양의 방향으로의 각도(radians), 음수는 음의 방향으로의 각도(radians)를 지칭하게 된다.  그렇다면 파수, k는 두 방향만 지칭한다는 뜻일까? 아니다. 파수는 3차원 공간상의 어떠한 방향이라도 지칭할 수 있다. 예를 들어 직교 좌표계에서 파수 k는 다음과 같이 3 개의 기본 축과 성분을 갖는다.

 

파동의 방향을 알려주는 파수 벡터

3. 평면파와 위상 속도(phase velocity, Vp)

복잡해 보이는 파동을 페이저 개념을 사용함으로써 단순화하였다. 이때 평면파의 경우, 예를 들어, z 방향으로 전파한다고 가정해보자. 이 파동의 어떤 점에서의 위상이 다음과 같이 항상 상수가 된다.

 

고정된 점에서 항상 상수인 평면파의 위상과 그 속도의 정의

 

이 식에 따라서 속도 개념을 다음과 같이 정의할 수 있는데, 이를 위상 속도라고 한다. 놀랍게도 파동 방정식에서 정의한 속도와 위상 속도는 동일하다는 점을 알 수 있다. 다시 말해서, 파동의 속도는 한 파장에 대한 위상의 속도라고 볼 수 있다.

 

* 다음 강의는 시간조화 전자기장과 맥스웰방정식입니다.

[Section 1] 시간조화 전자기장과 맥스웰 방정식