[Section 1] 포텐셜 함수(Potential Functions)

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[INTRO] 전자기파동 미리보기

0. INTRO

전기장의 포텐셜 함수는 스칼라 함수이었고, 자기장의 포텐셜 함수는 벡터였다. 맥스웰 방정식에 이를 적용하여, 스칼라 함수가 만드는 방정식에 대해 알아보자.

1. 시간에 의존하는 맥스웰 방정식

시간에 의존하는 맥스웰 방정식에 전자기장의 포텐셜 함수를 적용해 보자.

먼저, 벡터 포텐셜을 다음과 같이 패러데이의 법칙에 적용한다.

 

패러데이의 법칙에 벡터 포텐셜 치환

 

좌항을 우항으로 넘기면 다음과 같아진다.

 

좌항을 우항으로

 

이 식은 회전 연산자 내부의 항은 회전하지 않는다는 의미를 가지고 있다. 이전에 회전하지 않는다는 식을 배운 바가 있는데, 바로 정적인 상황에서의 전기장 식이다. 

 

정적인 상황에서의 전기장과 스칼라 포텐셜

 

정적인 상황과 시간에 따라 변화하는 상황에서의 동일성을 확보하기 위해 두 식을 연결하면 다음을 알 수 있다.

 

시간에 의존하는 전기장 식

2. 로렌츠 조건(Lorentz condition)

맥스웰 방정식의 두 번째에 해당하는 자기장 회전식은 다음과 같다. 이 자기장 회전식에 벡터 포텐셜 식을 대입하자.

 

자기장의 회전식과 벡터포텐셜을 이용한 식 변환식

 

오른쪽의 변환식에 시간에 따라 변화하는 전기장 식을 대입하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

 

자기장 회전식의 변환식

 

벡터의 곱셈법칙을 이용하여, 회전식을 다음과 같이 식을 바꾼다.

 

포텐셜 함수로만 이루어진 변형식

 

오른쪽 식에서 우항의 두 번째 항은 0이라고 가정한 것을 로렌츠 조건(Lorentz condtion)이라고 한다.

 

로렌츠 조건

 

로렌츠 조건은 단순화를 위한 개념으로, 발산항이 0이라는 것은 조건식의 발산이 대칭적이라는 것을 의미한다.

3. 파동 방정식

로렌츠 조건에서 위에서 변환한 시간에 의존하는 벡터 포텐셜 A의 방정식은 다음과 같다.

 

벡터 포텐셜의 파동 방정식과 그 속도

 

이것이 파동방정식이라고 불리는 이유는 방정식의 해가 진동하기 때문이다. 이때 진동하는 파동의 속도는 오른쪽 그림과 같이 정의된다. 

 

 

* 다음 강의는 전자기파동입니다.

[Section 1] 전자기파동(Electromagnetic wave)