[Section 2] 정상전류의 연속 방정식

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[INTRO] 전자기공학 미리보기

0. INTRO

전류의 원천인 전하 역시 우주의 제일의 법칙인 에너지 보존법칙에 따라서 갑자기 없어지거나 생겨나지 않는다. 이 법칙에 의해서 어떠한 모양의 물질에 대해서도 전체 전하의 양은 보존되어야 한다. 우주 제일의 가정에 의해서 생겨나는 전류의 연속 방정식에 대해 알아보자. 

1. 전류밀도의 미분 꼴

임의의 표면적 S에 대해 전류밀도를 적분하면 다음과 같은 도선의 전류를 알 수 있다.

 

도선의 전류밀도 관계식

 

발산 정리에 의해 전류밀도는 다음과 같아진다. 그리고 전하량은 자유 전하의 부피 적분 꼴로 바꾸어 줄 수 있다.

 

전류밀도의 발산 정리와 자유 전하량의 적분꼴

 

여기서 ρ_v는 부피 v안에 존재하는 자유 전하량을 의미한다. 

전류밀도의 미분 꼴은 에너지 보존 법칙에 의해서 유도되므로 다음과 같은 연속 방정식을 갖는다. 

 

연속 방정식

 

만약 정상상태의 전류에서 시간에 따른 전하량의 변화가 0이라면, 전류밀도의 발산 또한 0이 된다는 사실을 알 수 있다. 

2. 지수함수 꼴로 감소하는 자유 전하

특정 부피에 대한 연속 방정식은 중요한 점을 시사하는데, 그중 하나가 바로 시간에 따른 자유 전하의 감소량이다. 

정상 전류 상태에서도 총전하량은 고정되어 있기 때문에, 시간에 따라서 전하량은 감소하기 마련이다. 연속 방정식을 다음과 같은 전기장과 전도성의 곱으로 바꾸어 줌으로써 우리는 다음과 같은 방정식을 얻을 수 있다.

 

전기장과 전도성으로 나타낸 연속방정식

 

전기장의 발산은 전하량이므로 다음과 같다.

 

연속방정식의 변형

 

이 방정식의 해는 다음과 같다.

 

연속방정식의 해

 

위식으로부터 초기 전하량은 ρ₀이고, 시간에 따라 발산하는 전기장의 양만큼 전하량이 감소하는 것을 이해할 수 있다. 여기에서 타우는 상수로써 완화 시간(relaxation time)으로 정의된다.

 

* 다음 강의는 전류밀도와 전력입니다.