[Section 3] 자기장 포텐셜(Magnetic Potential)

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[INTRO] 전자기공학 미리보기

0. INTRO

전기장 포텐셜은 스칼라 값으로 존재한다. 자기장의 원천은 존재하지 않는데, 포텐셜의 정의가 가능할까? 자기장의 경우 어떠한 벡터 값의 회전이 자기장이라고 할 때, 그 벡터를 포텐셜로 정의한다. 자기장 포텐셜의 의미에 대해 알아보도록 하자.

1. 자기장 포텐셜(Magnetic potential)

일반적인 자유 공간에서 자기장의 포텐셜은 다음과 같은 벡터로 정의된다.

 

자기장 포텐셜과 자기장 관계

 

자기장의 단위는 테슬라(T)로 정의하고, 벡터 포텐셜 A의 존재를 위의 식으로 예측할 수 있다.

 

자기장 포텐셜의 존재 예측은 전기장 포텐셜과의 유사함으로부터 출발한다. 전기장과 전기장 포텐셜의 관계는 다음과 같음을 알 수 있는데, 전기장은 회전하지 않는다.

 

자기장 포텐셜의 추측

반대로 자기장은 발산 값이 0이므로 어떠한 회전량이 자기장을 만들어낼 것이라는 유추 할 수 있는데, 이것이 바로 자기장 포텐셜의 합리적인 추측이다. 실제로 자기장은 전하의 회전에 의해 만들어지는 셈이다.

 

2. 자기장 포텐셜과 전류 밀도의 관계

자기장 포텐셜 A와 자기장의 회전식을 이용하여 전류밀도와의 관계를 유도할 수 있다.

자기장의 회전식에 자기장 포텐셜을 대입하면 다음과 같은 관계식이 유도된다. 이때 벡터의 곱셈 법칙에 의해서 관계식을 정리할 수 있다.

 

자기장 포텐셜의 회전식 정리

 

관계식의 재정리를 통해서 벡터 포텐셜의 라플라시안(Laplacian) 식을 다음과 같이 유도한다.

 

포텐셜의 라플라시안식

 

두 번째 식은 μ₀J를 대입하여 전류밀도와 자기장 포텐셜의 관계를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

벡터 푸아송 방정식

 

이것을 벡터 푸아송 방정식(vector Poisson's equation) 이라고 부른다. 이 방정식의 해가 바로 벡터 포텐셜의 실제 값이 된다. 

 

방정식의 해

 

다시 말해서, 벡터 자기장 포텐셜은 회전하는 전류밀도의 미소 변위량에 해당하는 값임을 알 수 있다. 이 값의 회전식은 그 고리의 회전량에 해당하는 자기 선속을 만들어낸다는 것을 생각해보면 이해할 수 있다.

 

자속은 자기장의 표면 적분으로 정의되는데, 이 자기선속에 스토크스 정리를 통해서 다음과 같은 관계식을 알 수 있다.

 

자속과 자기포텐셜

3. 비오사바르의 법칙(Biot-Savart Law)

비오사바르의 법칙은 자기장 포텐셜로부터 자기장을 엄밀히 정의하는 것이다. 자기장 포텐셜의 전류밀도와 미소 부피의 값이 균일할 때, 해당 값은 다음과 같이 전류와 미소 변위의 값으로 대체 가능하다.

 

전류와 미소변위값으로 변환

이때 자기장과의 관계식을 통해서 자기장은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

자기장 관계식

 

곱셈 법칙에 따라서, 다음과 같은 전개가 가능해지고 자기장을 간단히 나타내 낼 수 있다. 이것이 비오사바르의 법칙이다.

 

비오사바르의 법칙

 

폐곡선의 반지름이 일정한 원이라는 가정하에 다음과 같이 간단한 자기장셈이 가능해진다.

 

비오사바르의 법칙

 

* 다음 강의는 자기 쌍극자(magnetic dipole)입니다.

[Section 3] 자기 쌍극자(dipole)