[Section 1] 정적인 전기장(Static Electric Fields)

전자기공학 목차보기

[INTRO] 전자기공학 미리보기

0. INTRO

쿨롱의 법칙으로도 잘 알려진 전하에 작용하는 힘은 전하의 역학 체계를 잘 묘사하곤 한다. 그럼에도 전하의 움직임을 관찰하는 것은 쉽지 않다. 하지만, 정적인 전하를 가정한다면 우리는 전하의 역학을 기술하는 것이 더 단순해질 것이다. 움직이지 않는 전하가 만들어내는 전기장에 대해 공부해보자. 

1. 전기장의 강도(intensity)

단위 전하당 작용하는 힘으로써 전기장의 세기를 묘사한다. 만약 시험 전하, q가 고정되어있고 그 자리에서 전기장이 형성되었다면,  다음과 같은 수식으로 묘사가 가능하다.

 

전기장식

 

전기장의 강도를 의미하는 E는 같은 방향에 작용하는 힘과 비례한다. 전기장의 강도, E의 단위는 SI 단위계에서 지정한 V/m이며, N/C을 쓰기도 한다. 전기장의 강도 식으로부터 다음과 같은 관계식을 알 수 있다.

 

전하에 작용하는 힘

2. 전기장의 발산과 회전

자유공간에서 다음과 같이 전기장의 발산과 회전을 셈 할 수 있다. 이것은 정전 기학의 가장 기본적인 가정적인 상황이라고 볼 수 있는데, 전기장의 발산과 회전식 결과가 중요한 의미를 내포하고 있기 때문이다.

 

전기장의 기본적 가정 두 가지

A. 전기장의 발산

위에서 보인 전기장의 발산은 전하량 ρ_v 가 자유공간에서 발산하는 전기장의 원천(source)이라는 의미를 가진다. 발산 정리를 기억하고 있다면, 위의 미분 형태를 적분 꼴로 쉽게 바꿀 수가 있다.

 

먼저, 전하량 ρ_v 를 포함하는 임의의 공간에 대해서 부피 적분을 한다고 가정해보자. 전기장 발산식에서 양변을 똑같이 부피 적분을 해주면 우리는 다음과 같은 결과가 도출이 된다.

 

총 전하량 Q

 

이것은 가우스 정리로 임의의 닫힌 표면 S에 대해 전기장의 세기를 전부 셈한 것이 그 닫힌 표면 안에 있는 전하의 총량과 같다는 결론을 의미한다.   

 

B. 전기장의 회전

마찬가지로 위에서 보인 전기장의 회전은 전기장은 회전하지 않는다는 의미를 내포하고 있다. 스토크스의 정리를 기억한다면, 위의 미분 형태를 적분 꼴로 쉽게 변환할 수 있다.

 

먼저, 위의 관계식을 임의의 열린 표면 S에 대해 적분을 해보자. 이 표면의 경계를 따르는 어떠한 폐곡선에 대해 전기장을 선적 분한 결과가 스토크스의 정리로 인해서 같다는 결론을 도출할 수 있다.

 

전기장의 회전량

 

이것은 정적인 전기장에서의 결과로 어떠한 닫힌 폐곡선을 따라서 전기장을 선적분한 결과는 0이 된다는 의미이다. 조금 어렵겠지만, 전기장 E가 방향을 가진 벡터라고 생각한다면, 그 회전 값이 0이 되는 것은 당연한 이치로 볼 수 있다.

 

3. 쿨롱의 법칙(Coulomb's Law)

전기장의 발산식으로 부터 단일 전하의 존재를 예측할 수 있고, 이로부터 우리는 R만큼 떨어진 거리에서 단일 전하가 만들어내는 전기장의 강도를 계산하는 것이 가능하다. 이는 가우스 법칙으로 쉽게 유도할 수 있고 결과는 다음과 같다.

 

쿨롱 법칙

 

이것이 바로 쿨롱의 법칙이다.

 

* 다음 강의는 전기 포텐셜입니다.

[Section 1] 전기 포텐셜(Electric Potential)